Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11941 / 20199
↖ ↑ ↗
← S 38.608286°
W 48.812256°		 ← 954.63 m → S 38.608286°
W 48.801269°		 →
↑
954.57 m
↓
↑
954.57 m
↓
S 38.616871°
W 48.812256°		 ← 954.51 m →
911 200 m²		 S 38.616871°
W 48.801269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364425659179688 y=0.616439819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364425659179688 × 215)
    floor (0.364425659179688 × 32768)
    floor (11941.5)     		tx = 11941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616439819335938 × 215)
    floor (0.616439819335938 × 32768)
    floor (20199.5)     		ty = 20199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11941 / 20199 ti = "15/11941/20199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11941/20199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11941 ÷ 215
    11941 ÷ 32768     		x = 0.364410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20199 ÷ 215
    20199 ÷ 32768     		y = 0.616424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.27117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85193458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.23284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.731517088202057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85193458} λ = -0.85193458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731517088202057))-π/2
    2×atan(0.481178445936945)-π/2
    2×0.448477309403708-π/2
    0.896954618807416-1.57079632675     		φ = -0.67384171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85193458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.812256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67384171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.608286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11941 KachelY 20199 -0.85193458 -0.67384171 -48.812256 -38.608286
    Oben rechts KachelX + 1 11942 KachelY 20199 -0.85174283 -0.67384171 -48.801269 -38.608286
    Unten links KachelX 11941 KachelY + 1 20200 -0.85193458 -0.67399154 -48.812256 -38.616871
    Unten rechts KachelX + 1 11942 KachelY + 1 20200 -0.85174283 -0.67399154 -48.801269 -38.616871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67384171--0.67399154) × R
    0.000149829999999906 × 6371000     		dl = 954.566929999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67384171--0.67399154) × R
    0.000149829999999906 × 6371000     		dr = 954.566929999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85193458--0.85174283) × cos(-0.67384171) × R
    0.000191750000000046 × 0.781430239571481 × 6371000     		do = 954.625851797654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85193458--0.85174283) × cos(-0.67399154) × R
    0.000191750000000046 × 0.781336737987498 × 6371000     		du = 954.511626592723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67384171)-sin(-0.67399154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781430239571481-0.781336737987498)×R²
    abs(-0.85174283--0.85193458)×9.35015839834685e-05×R²
    0.000191750000000046×9.35015839834685e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.35015839834685e-05×40589641000000     		ar = 911199.752551511m²