Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119409 / 118479
↖ ↑ ↗
← S 80.962572°
E147.966614°		 ← 47.98 m → S 80.962572°
E147.969360°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.963004°
E147.966614°		 ← 47.97 m →
2 302 m²		 S 80.963004°
E147.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911022186279297 y=0.903926849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911022186279297 × 217)
    floor (0.911022186279297 × 131072)
    floor (119409.5)     		tx = 119409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903926849365234 × 217)
    floor (0.903926849365234 × 131072)
    floor (118479.5)     		ty = 118479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119409 / 118479 ti = "17/119409/118479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119409/118479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119409 ÷ 217
    119409 ÷ 131072     		x = 0.911018371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118479 ÷ 217
    118479 ÷ 131072     		y = 0.903923034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911018371582031 × 2 - 1) × π
    0.822036743164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.58250459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903923034667969 × 2 - 1) × π
    -0.807846069335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.53792327658463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58250459} λ = 2.58250459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53792327658463))-π/2
    2×atan(0.0790303536743158)-π/2
    2×0.0788664316878645-π/2
    0.157732863375729-1.57079632675     		φ = -1.41306346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58250459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.966614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41306346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.962572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119409 KachelY 118479 2.58250459 -1.41306346 147.966614 -80.962572
    Oben rechts KachelX + 1 119410 KachelY 118479 2.58255253 -1.41306346 147.969360 -80.962572
    Unten links KachelX 119409 KachelY + 1 118480 2.58250459 -1.41307099 147.966614 -80.963004
    Unten rechts KachelX + 1 119410 KachelY + 1 118480 2.58255253 -1.41307099 147.969360 -80.963004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41306346--1.41307099) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41306346--1.41307099) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58250459-2.58255253) × cos(-1.41306346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157079623337361 × 6371000     		do = 47.9761601967034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58250459-2.58255253) × cos(-1.41307099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157072186810768 × 6371000     		du = 47.9738888900657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41306346)-sin(-1.41307099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157079623337361-0.157072186810768)×R²
    abs(2.58255253-2.58250459)×7.43652659299099e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43652659299099e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43652659299099e-06×40589641000000     		ar = 2301.53607675865m²