Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119408 / 118321
↖ ↑ ↗
← S 80.894151°
E147.963867°		 ← 48.33 m → S 80.894151°
E147.966614°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.894585°
E147.963867°		 ← 48.32 m →
2 334 m²		 S 80.894585°
E147.966614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911014556884766 y=0.902721405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911014556884766 × 217)
    floor (0.911014556884766 × 131072)
    floor (119408.5)     		tx = 119408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902721405029297 × 217)
    floor (0.902721405029297 × 131072)
    floor (118321.5)     		ty = 118321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119408 / 118321 ti = "17/119408/118321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119408/118321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119408 ÷ 217
    119408 ÷ 131072     		x = 0.9110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118321 ÷ 217
    118321 ÷ 131072     		y = 0.902717590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58245666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902717590332031 × 2 - 1) × π
    -0.805435180664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.53034924644466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58245666} λ = 2.58245666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53034924644466))-π/2
    2×atan(0.0796312045138402)-π/2
    2×0.0794635247806179-π/2
    0.158927049561236-1.57079632675     		φ = -1.41186928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58245666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41186928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.894151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119408 KachelY 118321 2.58245666 -1.41186928 147.963867 -80.894151
    Oben rechts KachelX + 1 119409 KachelY 118321 2.58250459 -1.41186928 147.966614 -80.894151
    Unten links KachelX 119408 KachelY + 1 118322 2.58245666 -1.41187686 147.963867 -80.894585
    Unten rechts KachelX + 1 119409 KachelY + 1 118322 2.58250459 -1.41187686 147.966614 -80.894585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41186928--1.41187686) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41186928--1.41187686) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58245666-2.58250459) × cos(-1.41186928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158258866433795 × 6371000     		do = 48.326248719752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58245666-2.58250459) × cos(-1.41187686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158251381955015 × 6371000     		du = 48.3239632441184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41186928)-sin(-1.41187686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158258866433795-0.158251381955015)×R²
    abs(2.58250459-2.58245666)×7.48447877946257e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.48447877946257e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.48447877946257e-06×40589641000000     		ar = 2333.72471655395m²