Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119407 / 118735
↖ ↑ ↗
← S 81.072353°
E147.961121°		 ← 47.40 m → S 81.072353°
E147.963867°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.072779°
E147.961121°		 ← 47.40 m →
2 244 m²		 S 81.072779°
E147.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911006927490234 y=0.905879974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911006927490234 × 217)
    floor (0.911006927490234 × 131072)
    floor (119407.5)     		tx = 119407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905879974365234 × 217)
    floor (0.905879974365234 × 131072)
    floor (118735.5)     		ty = 118735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119407 / 118735 ti = "17/119407/118735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119407/118735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119407 ÷ 217
    119407 ÷ 131072     		x = 0.911003112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118735 ÷ 217
    118735 ÷ 131072     		y = 0.905876159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911003112792969 × 2 - 1) × π
    0.822006225585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.58240872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905876159667969 × 2 - 1) × π
    -0.811752319335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.55019512288737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58240872} λ = 2.58240872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55019512288737))-π/2
    2×atan(0.0780664319673352)-π/2
    2×0.0779084208365075-π/2
    0.155816841673015-1.57079632675     		φ = -1.41497949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58240872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41497949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.072353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119407 KachelY 118735 2.58240872 -1.41497949 147.961121 -81.072353
    Oben rechts KachelX + 1 119408 KachelY 118735 2.58245666 -1.41497949 147.963867 -81.072353
    Unten links KachelX 119407 KachelY + 1 118736 2.58240872 -1.41498692 147.961121 -81.072779
    Unten rechts KachelX + 1 119408 KachelY + 1 118736 2.58245666 -1.41498692 147.963867 -81.072779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41497949--1.41498692) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41497949--1.41498692) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58240872-2.58245666) × cos(-1.41497949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155187091870592 × 6371000     		do = 47.3981323729926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58240872-2.58245666) × cos(-1.41498692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155179751880032 × 6371000     		du = 47.395890550944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41497949)-sin(-1.41498692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155187091870592-0.155179751880032)×R²
    abs(2.58245666-2.58240872)×7.33999056048984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.33999056048984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.33999056048984e-06×40589641000000     		ar = 2243.61005501317m²