Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119406 / 118722
↖ ↑ ↗
← S 81.066810°
E147.958374°		 ← 47.43 m → S 81.066810°
E147.961121°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.067236°
E147.958374°		 ← 47.43 m →
2 248 m²		 S 81.067236°
E147.961121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910999298095703 y=0.905780792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910999298095703 × 217)
    floor (0.910999298095703 × 131072)
    floor (119406.5)     		tx = 119406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905780792236328 × 217)
    floor (0.905780792236328 × 131072)
    floor (118722.5)     		ty = 118722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119406 / 118722 ti = "17/119406/118722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119406/118722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119406 ÷ 217
    119406 ÷ 131072     		x = 0.910995483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118722 ÷ 217
    118722 ÷ 131072     		y = 0.905776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910995483398438 × 2 - 1) × π
    0.821990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58236078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.811553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54957194319231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58236078} λ = 2.58236078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54957194319231))-π/2
    2×atan(0.0781150965444163)-π/2
    2×0.0779567904475908-π/2
    0.155913580895182-1.57079632675     		φ = -1.41488275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58236078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41488275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.066810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119406 KachelY 118722 2.58236078 -1.41488275 147.958374 -81.066810
    Oben rechts KachelX + 1 119407 KachelY 118722 2.58240872 -1.41488275 147.961121 -81.066810
    Unten links KachelX 119406 KachelY + 1 118723 2.58236078 -1.41489019 147.958374 -81.067236
    Unten rechts KachelX + 1 119407 KachelY + 1 118723 2.58240872 -1.41489019 147.961121 -81.067236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41488275--1.41489019) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41488275--1.41489019) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58236078-2.58240872) × cos(-1.41488275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		do = 47.4273210796095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58236078-2.58240872) × cos(-1.41489019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155275309390942 × 6371000     		du = 47.4250762744264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41488275)-sin(-1.41489019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155282659148638-0.155275309390942)×R²
    abs(2.58240872-2.58236078)×7.34975769575708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34975769575708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34975769575708e-06×40589641000000     		ar = 2248.01319950165m²