Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119405 / 118677
↖ ↑ ↗
← S 81.047597°
E147.955628°		 ← 47.52 m → S 81.047597°
E147.958374°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.048025°
E147.955628°		 ← 47.52 m →
2 258 m²		 S 81.048025°
E147.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910991668701172 y=0.905437469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910991668701172 × 217)
    floor (0.910991668701172 × 131072)
    floor (119405.5)     		tx = 119405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905437469482422 × 217)
    floor (0.905437469482422 × 131072)
    floor (118677.5)     		ty = 118677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119405 / 118677 ti = "17/119405/118677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119405/118677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119405 ÷ 217
    119405 ÷ 131072     		x = 0.910987854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118677 ÷ 217
    118677 ÷ 131072     		y = 0.905433654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910987854003906 × 2 - 1) × π
    0.821975708007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.58231285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905433654785156 × 2 - 1) × π
    -0.810867309570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.5474147827094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58231285} λ = 2.58231285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5474147827094))-π/2
    2×atan(0.0782837852226615)-π/2
    2×0.0781244538382365-π/2
    0.156248907676473-1.57079632675     		φ = -1.41454742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58231285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.955628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41454742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.047597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119405 KachelY 118677 2.58231285 -1.41454742 147.955628 -81.047597
    Oben rechts KachelX + 1 119406 KachelY 118677 2.58236078 -1.41454742 147.958374 -81.047597
    Unten links KachelX 119405 KachelY + 1 118678 2.58231285 -1.41455488 147.955628 -81.048025
    Unten rechts KachelX + 1 119406 KachelY + 1 118678 2.58236078 -1.41455488 147.958374 -81.048025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41454742--1.41455488) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41454742--1.41455488) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58231285-2.58236078) × cos(-1.41454742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15561391288602 × 6371000     		do = 47.5185803351475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58231285-2.58236078) × cos(-1.41455488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155606543759754 × 6371000     		du = 47.5163300837914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41454742)-sin(-1.41455488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15561391288602-0.155606543759754)×R²
    abs(2.58236078-2.58231285)×7.36912626633779e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.36912626633779e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.36912626633779e-06×40589641000000     		ar = 2258.39345525081m²