Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119404 / 118684
↖ ↑ ↗
← S 81.050589°
E147.952881°		 ← 47.51 m → S 81.050589°
E147.955628°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.051015°
E147.952881°		 ← 47.51 m →
2 255 m²		 S 81.051015°
E147.955628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910984039306641 y=0.905490875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910984039306641 × 217)
    floor (0.910984039306641 × 131072)
    floor (119404.5)     		tx = 119404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905490875244141 × 217)
    floor (0.905490875244141 × 131072)
    floor (118684.5)     		ty = 118684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119404 / 118684 ti = "17/119404/118684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119404/118684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119404 ÷ 217
    119404 ÷ 131072     		x = 0.910980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118684 ÷ 217
    118684 ÷ 131072     		y = 0.905487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910980224609375 × 2 - 1) × π
    0.82196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58226491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.81097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54775034100674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58226491} λ = 2.58226491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54775034100674))-π/2
    2×atan(0.0782575208558424)-π/2
    2×0.0780983493949426-π/2
    0.156196698789885-1.57079632675     		φ = -1.41459963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58226491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41459963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.050589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119404 KachelY 118684 2.58226491 -1.41459963 147.952881 -81.050589
    Oben rechts KachelX + 1 119405 KachelY 118684 2.58231285 -1.41459963 147.955628 -81.050589
    Unten links KachelX 119404 KachelY + 1 118685 2.58226491 -1.41460708 147.952881 -81.051015
    Unten rechts KachelX + 1 119405 KachelY + 1 118685 2.58231285 -1.41460708 147.955628 -81.051015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41459963--1.41460708) × R
    7.4499999997979e-06 × 6371000     		dl = 47.4639499987124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41459963--1.41460708) × R
    7.4499999997979e-06 × 6371000     		dr = 47.4639499987124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58226491-2.58231285) × cos(-1.41459963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155562338698576 × 6371000     		do = 47.5127424131121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58226491-2.58231285) × cos(-1.41460708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155554979389984 × 6371000     		du = 47.5104946908396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41459963)-sin(-1.41460708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155562338698576-0.155554979389984)×R²
    abs(2.58231285-2.58226491)×7.35930859185885e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35930859185885e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35930859185885e-06×40589641000000     		ar = 2255.08908721872m²