Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119403 / 118699
↖ ↑ ↗
← S 81.056995°
E147.950134°		 ← 47.48 m → S 81.056995°
E147.952881°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.057422°
E147.950134°		 ← 47.48 m →
2 253 m²		 S 81.057422°
E147.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910976409912109 y=0.905605316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910976409912109 × 217)
    floor (0.910976409912109 × 131072)
    floor (119403.5)     		tx = 119403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905605316162109 × 217)
    floor (0.905605316162109 × 131072)
    floor (118699.5)     		ty = 118699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119403 / 118699 ti = "17/119403/118699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119403/118699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119403 ÷ 217
    119403 ÷ 131072     		x = 0.910972595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118699 ÷ 217
    118699 ÷ 131072     		y = 0.905601501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910972595214844 × 2 - 1) × π
    0.821945190429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.58221697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905601501464844 × 2 - 1) × π
    -0.811203002929688 × 3.1415926535     		Φ = -2.54846939450105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58221697} λ = 2.58221697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54846939450105))-π/2
    2×atan(0.0782012697382207)-π/2
    2×0.0780424404311525-π/2
    0.156084880862305-1.57079632675     		φ = -1.41471145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58221697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.950134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41471145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.056995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119403 KachelY 118699 2.58221697 -1.41471145 147.950134 -81.056995
    Oben rechts KachelX + 1 119404 KachelY 118699 2.58226491 -1.41471145 147.952881 -81.056995
    Unten links KachelX 119403 KachelY + 1 118700 2.58221697 -1.41471890 147.950134 -81.057422
    Unten rechts KachelX + 1 119404 KachelY + 1 118700 2.58226491 -1.41471890 147.952881 -81.057422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41471145--1.41471890) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41471145--1.41471890) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58221697-2.58226491) × cos(-1.41471145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155451879014302 × 6371000     		do = 47.4790051823024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58221697-2.58226491) × cos(-1.41471890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155444519576166 × 6371000     		du = 47.4767574204639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41471145)-sin(-1.41471890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155451879014302-0.155444519576166)×R²
    abs(2.58226491-2.58221697)×7.35943813562345e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35943813562345e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35943813562345e-06×40589641000000     		ar = 2253.48778417765m²