Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119402 / 118681
↖ ↑ ↗
← S 81.049306°
E147.947387°		 ← 47.52 m → S 81.049306°
E147.950134°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.049734°
E147.947387°		 ← 47.52 m →
2 258 m²		 S 81.049734°
E147.950134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910968780517578 y=0.905467987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910968780517578 × 217)
    floor (0.910968780517578 × 131072)
    floor (119402.5)     		tx = 119402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905467987060547 × 217)
    floor (0.905467987060547 × 131072)
    floor (118681.5)     		ty = 118681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119402 / 118681 ti = "17/119402/118681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119402/118681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119402 ÷ 217
    119402 ÷ 131072     		x = 0.910964965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118681 ÷ 217
    118681 ÷ 131072     		y = 0.905464172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910964965820312 × 2 - 1) × π
    0.821929931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58216903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905464172363281 × 2 - 1) × π
    -0.810928344726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.54760653030788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58216903} λ = 2.58216903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54760653030788))-π/2
    2×atan(0.0782687759338887)-π/2
    2×0.0781095359539679-π/2
    0.156219071907936-1.57079632675     		φ = -1.41457725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58216903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.947387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41457725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.049306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119402 KachelY 118681 2.58216903 -1.41457725 147.947387 -81.049306
    Oben rechts KachelX + 1 119403 KachelY 118681 2.58221697 -1.41457725 147.950134 -81.049306
    Unten links KachelX 119402 KachelY + 1 118682 2.58216903 -1.41458471 147.947387 -81.049734
    Unten rechts KachelX + 1 119403 KachelY + 1 118682 2.58221697 -1.41458471 147.950134 -81.049734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41457725--1.41458471) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41457725--1.41458471) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58216903-2.58221697) × cos(-1.41457725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155584446207224 × 6371000     		do = 47.5194946153005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58216903-2.58221697) × cos(-1.41458471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155577077046333 × 6371000     		du = 47.5172438838821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41457725)-sin(-1.41458471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155584446207224-0.155577077046333)×R²
    abs(2.58221697-2.58216903)×7.36916089125184e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36916089125184e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36916089125184e-06×40589641000000     		ar = 2258.43689755303m²