Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119401 / 118696
↖ ↑ ↗
← S 81.055714°
E147.944641°		 ← 47.48 m → S 81.055714°
E147.947387°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.056141°
E147.944641°		 ← 47.47 m →
2 253 m²		 S 81.056141°
E147.947387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910961151123047 y=0.905582427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910961151123047 × 217)
    floor (0.910961151123047 × 131072)
    floor (119401.5)     		tx = 119401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905582427978516 × 217)
    floor (0.905582427978516 × 131072)
    floor (118696.5)     		ty = 118696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119401 / 118696 ti = "17/119401/118696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119401/118696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119401 ÷ 217
    119401 ÷ 131072     		x = 0.910957336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118696 ÷ 217
    118696 ÷ 131072     		y = 0.90557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910957336425781 × 2 - 1) × π
    0.821914672851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58212110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.8111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54832558380218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58212110} λ = 2.58212110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54832558380218))-π/2
    2×atan(0.0782125167261728)-π/2
    2×0.0780536190471327-π/2
    0.156107238094265-1.57079632675     		φ = -1.41468909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58212110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.944641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41468909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.055714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119401 KachelY 118696 2.58212110 -1.41468909 147.944641 -81.055714
    Oben rechts KachelX + 1 119402 KachelY 118696 2.58216903 -1.41468909 147.947387 -81.055714
    Unten links KachelX 119401 KachelY + 1 118697 2.58212110 -1.41469654 147.944641 -81.056141
    Unten rechts KachelX + 1 119402 KachelY + 1 118697 2.58216903 -1.41469654 147.947387 -81.056141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41468909--1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41468909--1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58212110-2.58216903) × cos(-1.41468909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155473967155339 × 6371000     		do = 47.4758462227367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58212110-2.58216903) × cos(-1.41469654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1554666077431 × 6371000     		du = 47.4735989376758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41468909)-sin(-1.41469654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155473967155339-0.1554666077431)×R²
    abs(2.58216903-2.58212110)×7.35941223889425e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35941223889425e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35941223889425e-06×40589641000000     		ar = 2253.33785870495m²