Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119400 / 118695
↖ ↑ ↗
← S 81.055287°
E147.941894°		 ← 47.49 m → S 81.055287°
E147.944641°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.055714°
E147.941894°		 ← 47.49 m →
2 254 m²		 S 81.055714°
E147.944641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910953521728516 y=0.905574798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910953521728516 × 217)
    floor (0.910953521728516 × 131072)
    floor (119400.5)     		tx = 119400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905574798583984 × 217)
    floor (0.905574798583984 × 131072)
    floor (118695.5)     		ty = 118695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119400 / 118695 ti = "17/119400/118695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119400/118695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119400 ÷ 217
    119400 ÷ 131072     		x = 0.91094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118695 ÷ 217
    118695 ÷ 131072     		y = 0.905570983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91094970703125 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58207316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905570983886719 × 2 - 1) × π
    -0.811141967773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.54827764690256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58207316} λ = 2.58207316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54827764690256))-π/2
    2×atan(0.0782162660816016)-π/2
    2×0.0780573456053749-π/2
    0.15611469121075-1.57079632675     		φ = -1.41468164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58207316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41468164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.055287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119400 KachelY 118695 2.58207316 -1.41468164 147.941894 -81.055287
    Oben rechts KachelX + 1 119401 KachelY 118695 2.58212110 -1.41468164 147.944641 -81.055287
    Unten links KachelX 119400 KachelY + 1 118696 2.58207316 -1.41468909 147.941894 -81.055714
    Unten rechts KachelX + 1 119401 KachelY + 1 118696 2.58212110 -1.41468909 147.944641 -81.055714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41468164--1.41468909) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41468164--1.41468909) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58207316-2.58212110) × cos(-1.41468164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155481326558949 × 6371000     		do = 47.4879992204174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58207316-2.58212110) × cos(-1.41468909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155473967155339 × 6371000     		du = 47.4857514691239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41468164)-sin(-1.41468909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155481326558949-0.155473967155339)×R²
    abs(2.58212110-2.58207316)×7.35940360971354e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35940360971354e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35940360971354e-06×40589641000000     		ar = 2253.91467712648m²