Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11940 / 13780
↖ ↑ ↗
← N 27.488781°
W 48.823242°		 ← 1 083.72 m → N 27.488781°
W 48.812256°		 →
↑
1 083.77 m
↓
↑
1 083.77 m
↓
N 27.479035°
W 48.823242°		 ← 1 083.81 m →
1 174 554 m²		 N 27.479035°
W 48.812256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364395141601562 y=0.420547485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364395141601562 × 215)
    floor (0.364395141601562 × 32768)
    floor (11940.5)     		tx = 11940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420547485351562 × 215)
    floor (0.420547485351562 × 32768)
    floor (13780.5)     		ty = 13780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11940 / 13780 ti = "15/11940/13780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11940/13780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11940 ÷ 215
    11940 ÷ 32768     		x = 0.3643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13780 ÷ 215
    13780 ÷ 32768     		y = 0.4205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85212633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499310746442505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85212633} λ = -0.85212633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499310746442505))-π/2
    2×atan(1.64758527523841)-π/2
    2×1.02528303277021-π/2
    2.05056606554042-1.57079632675     		φ = 0.47976974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85212633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47976974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.488781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11940 KachelY 13780 -0.85212633 0.47976974 -48.823242 27.488781
    Oben rechts KachelX + 1 11941 KachelY 13780 -0.85193458 0.47976974 -48.812256 27.488781
    Unten links KachelX 11940 KachelY + 1 13781 -0.85212633 0.47959963 -48.823242 27.479035
    Unten rechts KachelX + 1 11941 KachelY + 1 13781 -0.85193458 0.47959963 -48.812256 27.479035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47976974-0.47959963) × R
    0.000170110000000001 × 6371000     		dl = 1083.77081000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47976974-0.47959963) × R
    0.000170110000000001 × 6371000     		dr = 1083.77081000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85212633--0.85193458) × cos(0.47976974) × R
    0.000191750000000046 × 0.887101228537217 × 6371000     		do = 1083.71767950454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85212633--0.85193458) × cos(0.47959963) × R
    0.000191750000000046 × 0.887179734211928 × 6371000     		du = 1083.81358511812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47976974)-sin(0.47959963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887101228537217-0.887179734211928)×R²
    abs(-0.85193458--0.85212633)×7.85056747105717e-05×R²
    0.000191750000000046×7.85056747105717e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.85056747105717e-05×40589641000000     		ar = 1174553.56001272m²