Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119397 / 118725
↖ ↑ ↗
← S 81.068089°
E147.933655°		 ← 47.42 m → S 81.068089°
E147.936402°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.068516°
E147.933655°		 ← 47.42 m →
2 248 m²		 S 81.068516°
E147.936402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910930633544922 y=0.905803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910930633544922 × 217)
    floor (0.910930633544922 × 131072)
    floor (119397.5)     		tx = 119397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905803680419922 × 217)
    floor (0.905803680419922 × 131072)
    floor (118725.5)     		ty = 118725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119397 / 118725 ti = "17/119397/118725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119397/118725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119397 ÷ 217
    119397 ÷ 131072     		x = 0.910926818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118725 ÷ 217
    118725 ÷ 131072     		y = 0.905799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910926818847656 × 2 - 1) × π
    0.821853637695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.58192935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905799865722656 × 2 - 1) × π
    -0.811599731445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.54971575389117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58192935} λ = 2.58192935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54971575389117))-π/2
    2×atan(0.0781038635655214)-π/2
    2×0.0779456255865279-π/2
    0.155891251173056-1.57079632675     		φ = -1.41490508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58192935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41490508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.068089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119397 KachelY 118725 2.58192935 -1.41490508 147.933655 -81.068089
    Oben rechts KachelX + 1 119398 KachelY 118725 2.58197729 -1.41490508 147.936402 -81.068089
    Unten links KachelX 119397 KachelY + 1 118726 2.58192935 -1.41491252 147.933655 -81.068516
    Unten rechts KachelX + 1 119398 KachelY + 1 118726 2.58197729 -1.41491252 147.936402 -81.068516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41490508--1.41491252) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41490508--1.41491252) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58192935-2.58197729) × cos(-1.41490508) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.15526059997103 × 6371000     		do = 47.4205836394041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58192935-2.58197729) × cos(-1.41491252) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155253250187539 × 6371000     		du = 47.4183388263424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41490508)-sin(-1.41491252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15526059997103-0.155253250187539)×R²
    abs(2.58197729-2.58192935)×7.34978349123394e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.34978349123394e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.34978349123394e-06×40589641000000     		ar = 2247.69384301939m²