Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119396 / 118669
↖ ↑ ↗
← S 81.044177°
E147.930908°		 ← 47.55 m → S 81.044177°
E147.933655°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.044605°
E147.930908°		 ← 47.54 m →
2 260 m²		 S 81.044605°
E147.933655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910923004150391 y=0.905376434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910923004150391 × 217)
    floor (0.910923004150391 × 131072)
    floor (119396.5)     		tx = 119396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905376434326172 × 217)
    floor (0.905376434326172 × 131072)
    floor (118669.5)     		ty = 118669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119396 / 118669 ti = "17/119396/118669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119396/118669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119396 ÷ 217
    119396 ÷ 131072     		x = 0.910919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118669 ÷ 217
    118669 ÷ 131072     		y = 0.905372619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910919189453125 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58188141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905372619628906 × 2 - 1) × π
    -0.810745239257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.54703128751244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58188141} λ = 2.58188141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54703128751244))-π/2
    2×atan(0.0783138124355723)-π/2
    2×0.078154298084965-π/2
    0.15630859616993-1.57079632675     		φ = -1.41448773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58188141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41448773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.044177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119396 KachelY 118669 2.58188141 -1.41448773 147.930908 -81.044177
    Oben rechts KachelX + 1 119397 KachelY 118669 2.58192935 -1.41448773 147.933655 -81.044177
    Unten links KachelX 119396 KachelY + 1 118670 2.58188141 -1.41449519 147.930908 -81.044605
    Unten rechts KachelX + 1 119397 KachelY + 1 118670 2.58192935 -1.41449519 147.933655 -81.044605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41448773--1.41449519) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41448773--1.41449519) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58188141-2.58192935) × cos(-1.41448773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155672875462438 × 6371000     		do = 47.5465031860117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58188141-2.58192935) × cos(-1.41449519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155665506405476 × 6371000     		du = 47.544252486336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41448773)-sin(-1.41449519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155672875462438-0.155665506405476)×R²
    abs(2.58192935-2.58188141)×7.36905696194223e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36905696194223e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36905696194223e-06×40589641000000     		ar = 2259.72055249324m²