Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119394 / 118176
↖ ↑ ↗
← S 80.830907°
E147.925415°		 ← 48.67 m → S 80.830907°
E147.928162°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.831344°
E147.925415°		 ← 48.67 m →
2 369 m²		 S 80.831344°
E147.928162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910907745361328 y=0.901615142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910907745361328 × 217)
    floor (0.910907745361328 × 131072)
    floor (119394.5)     		tx = 119394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901615142822266 × 217)
    floor (0.901615142822266 × 131072)
    floor (118176.5)     		ty = 118176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119394 / 118176 ti = "17/119394/118176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119394/118176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119394 ÷ 217
    119394 ÷ 131072     		x = 0.910903930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118176 ÷ 217
    118176 ÷ 131072     		y = 0.901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910903930664062 × 2 - 1) × π
    0.821807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58178554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58178554} λ = 2.58178554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52339839599976))-π/2
    2×atan(0.0801866372357772)-π/2
    2×0.0800154333123203-π/2
    0.160030866624641-1.57079632675     		φ = -1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58178554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119394 KachelY 118176 2.58178554 -1.41076546 147.925415 -80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 119395 KachelY 118176 2.58183348 -1.41076546 147.928162 -80.830907
    Unten links KachelX 119394 KachelY + 1 118177 2.58178554 -1.41077310 147.925415 -80.831344
    Unten rechts KachelX + 1 119395 KachelY + 1 118177 2.58183348 -1.41077310 147.928162 -80.831344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41076546--1.41077310) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41076546--1.41077310) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58178554-2.58183348) × cos(-1.41076546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 48.6691882261271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58178554-2.58183348) × cos(-1.41077310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159341136696897 × 6371000     		du = 48.6668845880589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41076546)-sin(-1.41077310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159341136696897)×R²
    abs(2.58183348-2.58178554)×7.54238352107528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54238352107528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54238352107528e-06×40589641000000     		ar = 2368.88941804888m²