Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119393 / 118611
↖ ↑ ↗
← S 81.019344°
E147.922668°		 ← 47.68 m → S 81.019344°
E147.925415°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.019773°
E147.922668°		 ← 47.68 m →
2 272 m²		 S 81.019773°
E147.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910900115966797 y=0.904933929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910900115966797 × 217)
    floor (0.910900115966797 × 131072)
    floor (119393.5)     		tx = 119393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904933929443359 × 217)
    floor (0.904933929443359 × 131072)
    floor (118611.5)     		ty = 118611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119393 / 118611 ti = "17/119393/118611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119393/118611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119393 ÷ 217
    119393 ÷ 131072     		x = 0.910896301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118611 ÷ 217
    118611 ÷ 131072     		y = 0.904930114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910896301269531 × 2 - 1) × π
    0.821792602539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.58173760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904930114746094 × 2 - 1) × π
    -0.809860229492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.54425094733448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58173760} λ = 2.58173760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54425094733448))-π/2
    2×atan(0.078531854449802)-π/2
    2×0.0783710073061332-π/2
    0.156742014612266-1.57079632675     		φ = -1.41405431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58173760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.922668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41405431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.019344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119393 KachelY 118611 2.58173760 -1.41405431 147.922668 -81.019344
    Oben rechts KachelX + 1 119394 KachelY 118611 2.58178554 -1.41405431 147.925415 -81.019344
    Unten links KachelX 119393 KachelY + 1 118612 2.58173760 -1.41406179 147.922668 -81.019773
    Unten rechts KachelX + 1 119394 KachelY + 1 118612 2.58178554 -1.41406179 147.925415 -81.019773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41405431--1.41406179) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41405431--1.41406179) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58173760-2.58178554) × cos(-1.41405431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156100996858203 × 6371000     		do = 47.6772624801229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58173760-2.58178554) × cos(-1.41406179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156093608550415 × 6371000     		du = 47.6750059007494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41405431)-sin(-1.41406179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156100996858203-0.156093608550415)×R²
    abs(2.58178554-2.58173760)×7.38830778793109e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38830778793109e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38830778793109e-06×40589641000000     		ar = 2272.00998888882m²