Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119392 / 118824
↖ ↑ ↗
← S 81.110208°
E147.919922°		 ← 47.19 m → S 81.110208°
E147.922668°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.110632°
E147.919922°		 ← 47.19 m →
2 228 m²		 S 81.110632°
E147.922668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910892486572266 y=0.906558990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910892486572266 × 217)
    floor (0.910892486572266 × 131072)
    floor (119392.5)     		tx = 119392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906558990478516 × 217)
    floor (0.906558990478516 × 131072)
    floor (118824.5)     		ty = 118824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119392 / 118824 ti = "17/119392/118824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119392/118824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119392 ÷ 217
    119392 ÷ 131072     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118824 ÷ 217
    118824 ÷ 131072     		y = 0.90655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.8131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55446150695355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55446150695355))-π/2
    2×atan(0.077734080060449)-π/2
    2×0.0775780736280684-π/2
    0.155156147256137-1.57079632675     		φ = -1.41564018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41564018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.110208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119392 KachelY 118824 2.58168967 -1.41564018 147.919922 -81.110208
    Oben rechts KachelX + 1 119393 KachelY 118824 2.58173760 -1.41564018 147.922668 -81.110208
    Unten links KachelX 119392 KachelY + 1 118825 2.58168967 -1.41564759 147.919922 -81.110632
    Unten rechts KachelX + 1 119393 KachelY + 1 118825 2.58173760 -1.41564759 147.922668 -81.110632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41564018--1.41564759) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41564018--1.41564759) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58173760) × cos(-1.41564018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154534372242334 × 6371000     		do = 47.1889296127236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58173760) × cos(-1.41564759) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154527051251363 × 6371000     		du = 47.186694060059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41564018)-sin(-1.41564759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154534372242334-0.154527051251363)×R²
    abs(2.58173760-2.58168967)×7.32099097119909e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.32099097119909e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.32099097119909e-06×40589641000000     		ar = 2227.69459973966m²