Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119392 / 118177
↖ ↑ ↗
← S 80.831344°
E147.919922°		 ← 48.66 m → S 80.831344°
E147.922668°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.831782°
E147.919922°		 ← 48.65 m →
2 368 m²		 S 80.831782°
E147.922668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910892486572266 y=0.901622772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910892486572266 × 217)
    floor (0.910892486572266 × 131072)
    floor (119392.5)     		tx = 119392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901622772216797 × 217)
    floor (0.901622772216797 × 131072)
    floor (118177.5)     		ty = 118177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119392 / 118177 ti = "17/119392/118177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119392/118177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119392 ÷ 217
    119392 ÷ 131072     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118177 ÷ 217
    118177 ÷ 131072     		y = 0.901618957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901618957519531 × 2 - 1) × π
    -0.803237915039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.52344633289938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52344633289938))-π/2
    2×atan(0.080182793429128)-π/2
    2×0.08001161406188-π/2
    0.16002322812376-1.57079632675     		φ = -1.41077310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41077310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.831344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119392 KachelY 118177 2.58168967 -1.41077310 147.919922 -80.831344
    Oben rechts KachelX + 1 119393 KachelY 118177 2.58173760 -1.41077310 147.922668 -80.831344
    Unten links KachelX 119392 KachelY + 1 118178 2.58168967 -1.41078074 147.919922 -80.831782
    Unten rechts KachelX + 1 119393 KachelY + 1 118178 2.58173760 -1.41078074 147.922668 -80.831782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41077310--1.41078074) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dl = 48.6744400012582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41077310--1.41078074) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dr = 48.6744400012582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58173760) × cos(-1.41077310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159341136696897 × 6371000     		do = 48.6567329643016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58173760) × cos(-1.41078074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159333594304075 × 6371000     		du = 48.6544298039184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41077310)-sin(-1.41078074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159341136696897-0.159333594304075)×R²
    abs(2.58173760-2.58168967)×7.54239282196867e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.54239282196867e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.54239282196867e-06×40589641000000     		ar = 2368.28317687922m²