Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119391 / 118825
↖ ↑ ↗
← S 81.110632°
E147.917175°		 ← 47.20 m → S 81.110632°
E147.919922°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
S 81.111056°
E147.917175°		 ← 47.19 m →
2 225 m²		 S 81.111056°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910884857177734 y=0.906566619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910884857177734 × 217)
    floor (0.910884857177734 × 131072)
    floor (119391.5)     		tx = 119391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906566619873047 × 217)
    floor (0.906566619873047 × 131072)
    floor (118825.5)     		ty = 118825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119391 / 118825 ti = "17/119391/118825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119391/118825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119391 ÷ 217
    119391 ÷ 131072     		x = 0.910881042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118825 ÷ 217
    118825 ÷ 131072     		y = 0.906562805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910881042480469 × 2 - 1) × π
    0.821762084960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.58164173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906562805175781 × 2 - 1) × π
    -0.813125610351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.55450944385317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58164173} λ = 2.58164173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55450944385317))-π/2
    2×atan(0.0777303538189691)-π/2
    2×0.0775743697664226-π/2
    0.155148739532845-1.57079632675     		φ = -1.41564759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58164173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.917175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41564759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.110632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119391 KachelY 118825 2.58164173 -1.41564759 147.917175 -81.110632
    Oben rechts KachelX + 1 119392 KachelY 118825 2.58168967 -1.41564759 147.919922 -81.110632
    Unten links KachelX 119391 KachelY + 1 118826 2.58164173 -1.41565499 147.917175 -81.111056
    Unten rechts KachelX + 1 119392 KachelY + 1 118826 2.58168967 -1.41565499 147.919922 -81.111056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41564759--1.41565499) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41564759--1.41565499) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58164173-2.58168967) × cos(-1.41564759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154527051251363 × 6371000     		do = 47.1965389784344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58164173-2.58168967) × cos(-1.41565499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154519740131804 × 6371000     		du = 47.1943059743329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41564759)-sin(-1.41565499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154527051251363-0.154519740131804)×R²
    abs(2.58168967-2.58164173)×7.31111955881714e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31111955881714e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31111955881714e-06×40589641000000     		ar = 2225.04707073206m²