Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119391 / 118627
↖ ↑ ↗
← S 81.026201°
E147.917175°		 ← 47.64 m → S 81.026201°
E147.919922°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.026630°
E147.917175°		 ← 47.64 m →
2 270 m²		 S 81.026630°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910884857177734 y=0.905055999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910884857177734 × 217)
    floor (0.910884857177734 × 131072)
    floor (119391.5)     		tx = 119391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905055999755859 × 217)
    floor (0.905055999755859 × 131072)
    floor (118627.5)     		ty = 118627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119391 / 118627 ti = "17/119391/118627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119391/118627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119391 ÷ 217
    119391 ÷ 131072     		x = 0.910881042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118627 ÷ 217
    118627 ÷ 131072     		y = 0.905052185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910881042480469 × 2 - 1) × π
    0.821762084960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.58164173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905052185058594 × 2 - 1) × π
    -0.810104370117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.5450179377284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58164173} λ = 2.58164173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5450179377284))-π/2
    2×atan(0.0784716443650522)-π/2
    2×0.0783111659949568-π/2
    0.156622331989914-1.57079632675     		φ = -1.41417399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58164173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.917175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41417399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.026201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119391 KachelY 118627 2.58164173 -1.41417399 147.917175 -81.026201
    Oben rechts KachelX + 1 119392 KachelY 118627 2.58168967 -1.41417399 147.919922 -81.026201
    Unten links KachelX 119391 KachelY + 1 118628 2.58164173 -1.41418147 147.917175 -81.026630
    Unten rechts KachelX + 1 119392 KachelY + 1 118628 2.58168967 -1.41418147 147.919922 -81.026630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41417399--1.41418147) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dl = 47.6550799989655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41417399--1.41418147) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dr = 47.6550799989655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58164173-2.58168967) × cos(-1.41417399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155982782885808 × 6371000     		do = 47.6411568901259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58164173-2.58168967) × cos(-1.41418147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155975394438334 × 6371000     		du = 47.6389002680887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41417399)-sin(-1.41418147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155982782885808-0.155975394438334)×R²
    abs(2.58168967-2.58164173)×7.38844747413814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38844747413814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38844747413814e-06×40589641000000     		ar = 2270.28937313569m²