Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11939 / 13781
↖ ↑ ↗
← N 27.479035°
W 48.834229°		 ← 1 083.81 m → N 27.479035°
W 48.823242°		 →
↑
1 083.83 m
↓
↑
1 083.83 m
↓
N 27.469287°
W 48.834229°		 ← 1 083.91 m →
1 174 727 m²		 N 27.469287°
W 48.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364364624023438 y=0.420578002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364364624023438 × 215)
    floor (0.364364624023438 × 32768)
    floor (11939.5)     		tx = 11939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420578002929688 × 215)
    floor (0.420578002929688 × 32768)
    floor (13781.5)     		ty = 13781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11939 / 13781 ti = "15/11939/13781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11939/13781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11939 ÷ 215
    11939 ÷ 32768     		x = 0.364349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13781 ÷ 215
    13781 ÷ 32768     		y = 0.420562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.27130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85231808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420562744140625 × 2 - 1) × π
    0.15887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499118998844025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85231808} λ = -0.85231808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499118998844025))-π/2
    2×atan(1.64726938500516)-π/2
    2×1.02519797924166-π/2
    2.05039595848332-1.57079632675     		φ = 0.47959963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85231808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.834229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47959963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.479035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11939 KachelY 13781 -0.85231808 0.47959963 -48.834229 27.479035
    Oben rechts KachelX + 1 11940 KachelY 13781 -0.85212633 0.47959963 -48.823242 27.479035
    Unten links KachelX 11939 KachelY + 1 13782 -0.85231808 0.47942951 -48.834229 27.469287
    Unten rechts KachelX + 1 11940 KachelY + 1 13782 -0.85212633 0.47942951 -48.823242 27.469287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47959963-0.47942951) × R
    0.000170119999999996 × 6371000     		dl = 1083.83451999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47959963-0.47942951) × R
    0.000170119999999996 × 6371000     		dr = 1083.83451999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85231808--0.85212633) × cos(0.47959963) × R
    0.000191749999999935 × 0.887179734211928 × 6371000     		do = 1083.81358511749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85231808--0.85212633) × cos(0.47942951) × R
    0.000191749999999935 × 0.887258218826684 × 6371000     		du = 1083.9094650034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47959963)-sin(0.47942951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887179734211928-0.887258218826684)×R²
    abs(-0.85212633--0.85231808)×7.84846147560136e-05×R²
    0.000191749999999935×7.84846147560136e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.84846147560136e-05×40589641000000     		ar = 1174726.53859334m²