Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119388 / 118654
↖ ↑ ↗
← S 81.037761°
E147.908936°		 ← 47.58 m → S 81.037761°
E147.911682°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.038189°
E147.908936°		 ← 47.58 m →
2 264 m²		 S 81.038189°
E147.911682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910861968994141 y=0.905261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910861968994141 × 217)
    floor (0.910861968994141 × 131072)
    floor (119388.5)     		tx = 119388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905261993408203 × 217)
    floor (0.905261993408203 × 131072)
    floor (118654.5)     		ty = 118654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119388 / 118654 ti = "17/119388/118654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119388/118654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119388 ÷ 217
    119388 ÷ 131072     		x = 0.910858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118654 ÷ 217
    118654 ÷ 131072     		y = 0.905258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910858154296875 × 2 - 1) × π
    0.82171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58149792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.810516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54631223401814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58149792} λ = 2.58149792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54631223401814))-π/2
    2×atan(0.0783701445065152)-π/2
    2×0.0782102865287463-π/2
    0.156420573057493-1.57079632675     		φ = -1.41437575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58149792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41437575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.037761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119388 KachelY 118654 2.58149792 -1.41437575 147.908936 -81.037761
    Oben rechts KachelX + 1 119389 KachelY 118654 2.58154586 -1.41437575 147.911682 -81.037761
    Unten links KachelX 119388 KachelY + 1 118655 2.58149792 -1.41438322 147.908936 -81.038189
    Unten rechts KachelX + 1 119389 KachelY + 1 118655 2.58154586 -1.41438322 147.911682 -81.038189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41437575--1.41438322) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41437575--1.41438322) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58149792-2.58154586) × cos(-1.41437575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155783489300323 × 6371000     		do = 47.580287499302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58149792-2.58154586) × cos(-1.41438322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155776110495525 × 6371000     		du = 47.5780338223862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41437575)-sin(-1.41438322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155783489300323-0.155776110495525)×R²
    abs(2.58154586-2.58149792)×7.3788047980361e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3788047980361e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3788047980361e-06×40589641000000     		ar = 2264.35743937404m²