Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119387 / 118676
↖ ↑ ↗
← S 81.047170°
E147.906189°		 ← 47.53 m → S 81.047170°
E147.908936°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.047597°
E147.906189°		 ← 47.53 m →
2 259 m²		 S 81.047597°
E147.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910854339599609 y=0.905429840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910854339599609 × 217)
    floor (0.910854339599609 × 131072)
    floor (119387.5)     		tx = 119387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905429840087891 × 217)
    floor (0.905429840087891 × 131072)
    floor (118676.5)     		ty = 118676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119387 / 118676 ti = "17/119387/118676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119387/118676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119387 ÷ 217
    119387 ÷ 131072     		x = 0.910850524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118676 ÷ 217
    118676 ÷ 131072     		y = 0.905426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910850524902344 × 2 - 1) × π
    0.821701049804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.58144998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905426025390625 × 2 - 1) × π
    -0.81085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54736684580978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58144998} λ = 2.58144998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54736684580978))-π/2
    2×atan(0.0782875379945631)-π/2
    2×0.0781281837508286-π/2
    0.156256367501657-1.57079632675     		φ = -1.41453996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58144998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.906189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41453996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.047170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119387 KachelY 118676 2.58144998 -1.41453996 147.906189 -81.047170
    Oben rechts KachelX + 1 119388 KachelY 118676 2.58149792 -1.41453996 147.908936 -81.047170
    Unten links KachelX 119387 KachelY + 1 118677 2.58144998 -1.41454742 147.906189 -81.047597
    Unten rechts KachelX + 1 119388 KachelY + 1 118677 2.58149792 -1.41454742 147.908936 -81.047597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41453996--1.41454742) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dl = 47.5276600011545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41453996--1.41454742) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dr = 47.5276600011545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58144998-2.58149792) × cos(-1.41453996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155621282003627 × 6371000     		do = 47.5307452156752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58144998-2.58149792) × cos(-1.41454742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15561391288602 × 6371000     		du = 47.5284944974772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41453996)-sin(-1.41454742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155621282003627-0.15561391288602)×R²
    abs(2.58149792-2.58144998)×7.36911760637615e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36911760637615e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36911760637615e-06×40589641000000     		ar = 2258.97161254545m²