Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119387 / 118614
↖ ↑ ↗
← S 81.020630°
E147.906189°		 ← 47.67 m → S 81.020630°
E147.908936°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.021059°
E147.906189°		 ← 47.67 m →
2 272 m²		 S 81.021059°
E147.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910854339599609 y=0.904956817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910854339599609 × 217)
    floor (0.910854339599609 × 131072)
    floor (119387.5)     		tx = 119387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904956817626953 × 217)
    floor (0.904956817626953 × 131072)
    floor (118614.5)     		ty = 118614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119387 / 118614 ti = "17/119387/118614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119387/118614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119387 ÷ 217
    119387 ÷ 131072     		x = 0.910850524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118614 ÷ 217
    118614 ÷ 131072     		y = 0.904953002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910850524902344 × 2 - 1) × π
    0.821701049804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.58144998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904953002929688 × 2 - 1) × π
    -0.809906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54439475803334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58144998} λ = 2.58144998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54439475803334))-π/2
    2×atan(0.0785205615409708)-π/2
    2×0.0783597836067331-π/2
    0.156719567213466-1.57079632675     		φ = -1.41407676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58144998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.906189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41407676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.020630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119387 KachelY 118614 2.58144998 -1.41407676 147.906189 -81.020630
    Oben rechts KachelX + 1 119388 KachelY 118614 2.58149792 -1.41407676 147.908936 -81.020630
    Unten links KachelX 119387 KachelY + 1 118615 2.58144998 -1.41408424 147.906189 -81.021059
    Unten rechts KachelX + 1 119388 KachelY + 1 118615 2.58149792 -1.41408424 147.908936 -81.021059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41407676--1.41408424) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41407676--1.41408424) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58144998-2.58149792) × cos(-1.41407676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156078822031193 × 6371000     		do = 47.6704897171741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58144998-2.58149792) × cos(-1.41408424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156071433697194 × 6371000     		du = 47.6682331297951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41407676)-sin(-1.41408424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156078822031193-0.156071433697194)×R²
    abs(2.58149792-2.58144998)×7.38833399888117e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38833399888117e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38833399888117e-06×40589641000000     		ar = 2271.68723221594m²