Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119386 / 118655
↖ ↑ ↗
← S 81.038189°
E147.903442°		 ← 47.58 m → S 81.038189°
E147.906189°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.038617°
E147.903442°		 ← 47.58 m →
2 264 m²		 S 81.038617°
E147.906189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910846710205078 y=0.905269622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910846710205078 × 217)
    floor (0.910846710205078 × 131072)
    floor (119386.5)     		tx = 119386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905269622802734 × 217)
    floor (0.905269622802734 × 131072)
    floor (118655.5)     		ty = 118655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119386 / 118655 ti = "17/119386/118655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119386/118655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119386 ÷ 217
    119386 ÷ 131072     		x = 0.910842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118655 ÷ 217
    118655 ÷ 131072     		y = 0.905265808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910842895507812 × 2 - 1) × π
    0.821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58140204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905265808105469 × 2 - 1) × π
    -0.810531616210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.54636017091776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58140204} λ = 2.58140204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54636017091776))-π/2
    2×atan(0.0783663877748085)-π/2
    2×0.0782065527284917-π/2
    0.156413105456983-1.57079632675     		φ = -1.41438322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58140204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41438322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.038189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119386 KachelY 118655 2.58140204 -1.41438322 147.903442 -81.038189
    Oben rechts KachelX + 1 119387 KachelY 118655 2.58144998 -1.41438322 147.906189 -81.038189
    Unten links KachelX 119386 KachelY + 1 118656 2.58140204 -1.41439069 147.903442 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 119387 KachelY + 1 118656 2.58144998 -1.41439069 147.906189 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41438322--1.41439069) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dl = 47.5913700007673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41438322--1.41439069) × R
    7.47000000012044e-06 × 6371000     		dr = 47.5913700007673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58140204-2.58144998) × cos(-1.41438322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155776110495525 × 6371000     		do = 47.5780338223862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58140204-2.58144998) × cos(-1.41439069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 47.5757801428155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41438322)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155776110495525-0.155768731682034)×R²
    abs(2.58144998-2.58140204)×7.37881349072156e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37881349072156e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37881349072156e-06×40589641000000     		ar = 2264.25018377338m²