Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119384 / 118809
↖ ↑ ↗
← S 81.103839°
E147.897949°		 ← 47.23 m → S 81.103839°
E147.900696°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.104263°
E147.897949°		 ← 47.23 m →
2 230 m²		 S 81.104263°
E147.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910831451416016 y=0.906444549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910831451416016 × 217)
    floor (0.910831451416016 × 131072)
    floor (119384.5)     		tx = 119384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906444549560547 × 217)
    floor (0.906444549560547 × 131072)
    floor (118809.5)     		ty = 118809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119384 / 118809 ti = "17/119384/118809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119384/118809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119384 ÷ 217
    119384 ÷ 131072     		x = 0.91082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118809 ÷ 217
    118809 ÷ 131072     		y = 0.906440734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91082763671875 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58130617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906440734863281 × 2 - 1) × π
    -0.812881469726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.55374245345925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58130617} λ = 2.58130617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55374245345925))-π/2
    2×atan(0.0777899951228941)-π/2
    2×0.0776336526080484-π/2
    0.155267305216097-1.57079632675     		φ = -1.41552902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58130617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41552902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.103839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119384 KachelY 118809 2.58130617 -1.41552902 147.897949 -81.103839
    Oben rechts KachelX + 1 119385 KachelY 118809 2.58135411 -1.41552902 147.900696 -81.103839
    Unten links KachelX 119384 KachelY + 1 118810 2.58130617 -1.41553643 147.897949 -81.104263
    Unten rechts KachelX + 1 119385 KachelY + 1 118810 2.58135411 -1.41553643 147.900696 -81.104263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41552902--1.41553643) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41552902--1.41553643) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58130617-2.58135411) × cos(-1.41552902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154644195968156 × 6371000     		do = 47.2323179902481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58130617-2.58135411) × cos(-1.41553643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154636875104516 × 6371000     		du = 47.2300820100535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41552902)-sin(-1.41553643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154644195968156-0.154636875104516)×R²
    abs(2.58135411-2.58130617)×7.32086363969264e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32086363969264e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32086363969264e-06×40589641000000     		ar = 2229.74291628491m²