Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119384 / 118633
↖ ↑ ↗
← S 81.028771°
E147.897949°		 ← 47.63 m → S 81.028771°
E147.900696°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.029200°
E147.897949°		 ← 47.63 m →
2 270 m²		 S 81.029200°
E147.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910831451416016 y=0.905101776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910831451416016 × 217)
    floor (0.910831451416016 × 131072)
    floor (119384.5)     		tx = 119384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905101776123047 × 217)
    floor (0.905101776123047 × 131072)
    floor (118633.5)     		ty = 118633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119384 / 118633 ti = "17/119384/118633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119384/118633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119384 ÷ 217
    119384 ÷ 131072     		x = 0.91082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118633 ÷ 217
    118633 ÷ 131072     		y = 0.905097961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91082763671875 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58130617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905097961425781 × 2 - 1) × π
    -0.810195922851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.54530555912612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58130617} λ = 2.58130617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54530555912612))-π/2
    2×atan(0.0784490774865327)-π/2
    2×0.0782887371888022-π/2
    0.156577474377604-1.57079632675     		φ = -1.41421885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58130617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41421885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.028771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119384 KachelY 118633 2.58130617 -1.41421885 147.897949 -81.028771
    Oben rechts KachelX + 1 119385 KachelY 118633 2.58135411 -1.41421885 147.900696 -81.028771
    Unten links KachelX 119384 KachelY + 1 118634 2.58130617 -1.41422633 147.897949 -81.029200
    Unten rechts KachelX + 1 119385 KachelY + 1 118634 2.58135411 -1.41422633 147.900696 -81.029200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41421885--1.41422633) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41421885--1.41422633) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58130617-2.58135411) × cos(-1.41421885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155938471825403 × 6371000     		do = 47.6276231517115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58130617-2.58135411) × cos(-1.41422633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155931083325597 × 6371000     		du = 47.6253665136908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41421885)-sin(-1.41422633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155938471825403-0.155931083325597)×R²
    abs(2.58135411-2.58130617)×7.38849980611023e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38849980611023e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38849980611023e-06×40589641000000     		ar = 2269.64442148009m²