Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119371 / 118211
↖ ↑ ↗
← S 80.846212°
E147.862244°		 ← 48.59 m → S 80.846212°
E147.864990°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
S 80.846649°
E147.862244°		 ← 48.59 m →
2 362 m²		 S 80.846649°
E147.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910732269287109 y=0.901882171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910732269287109 × 217)
    floor (0.910732269287109 × 131072)
    floor (119371.5)     		tx = 119371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901882171630859 × 217)
    floor (0.901882171630859 × 131072)
    floor (118211.5)     		ty = 118211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119371 / 118211 ti = "17/119371/118211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119371/118211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119371 ÷ 217
    119371 ÷ 131072     		x = 0.910728454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118211 ÷ 217
    118211 ÷ 131072     		y = 0.901878356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910728454589844 × 2 - 1) × π
    0.821456909179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.58068299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901878356933594 × 2 - 1) × π
    -0.803756713867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.52507618748646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58068299} λ = 2.58068299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52507618748646))-π/2
    2×atan(0.0800522135774439)-π/2
    2×0.0798818670324722-π/2
    0.159763734064944-1.57079632675     		φ = -1.41103259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58068299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.862244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41103259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.846212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119371 KachelY 118211 2.58068299 -1.41103259 147.862244 -80.846212
    Oben rechts KachelX + 1 119372 KachelY 118211 2.58073093 -1.41103259 147.864990 -80.846212
    Unten links KachelX 119371 KachelY + 1 118212 2.58068299 -1.41104022 147.862244 -80.846649
    Unten rechts KachelX + 1 119372 KachelY + 1 118212 2.58073093 -1.41104022 147.864990 -80.846649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41103259--1.41104022) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dl = 48.6107300002308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41103259--1.41104022) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dr = 48.6107300002308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58068299-2.58073093) × cos(-1.41103259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159084956687685 × 6371000     		do = 48.5886406191722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58068299-2.58073093) × cos(-1.41104022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159077423851891 × 6371000     		du = 48.5863398972257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41103259)-sin(-1.41104022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159084956687685-0.159077423851891)×R²
    abs(2.58073093-2.58068299)×7.53283579366104e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53283579366104e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53283579366104e-06×40589641000000     		ar = 2361.87337020931m²