Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11937 / 13723
↖ ↑ ↗
← N 28.042895°
W 48.856201°		 ← 1 078.21 m → N 28.042895°
W 48.845215°		 →
↑
1 078.29 m
↓
↑
1 078.29 m
↓
N 28.033198°
W 48.856201°		 ← 1 078.31 m →
1 162 681 m²		 N 28.033198°
W 48.845215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364303588867188 y=0.418807983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364303588867188 × 215)
    floor (0.364303588867188 × 32768)
    floor (11937.5)     		tx = 11937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418807983398438 × 215)
    floor (0.418807983398438 × 32768)
    floor (13723.5)     		ty = 13723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11937 / 13723 ti = "15/11937/13723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11937/13723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11937 ÷ 215
    11937 ÷ 32768     		x = 0.364288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13723 ÷ 215
    13723 ÷ 32768     		y = 0.418792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.27142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85270157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418792724609375 × 2 - 1) × π
    0.16241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.510240359555878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85270157} λ = -0.85270157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510240359555878))-π/2
    2×atan(1.66569151170596)-π/2
    2×1.03011858617677-π/2
    2.06023717235353-1.57079632675     		φ = 0.48944085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85270157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.856201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48944085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.042895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11937 KachelY 13723 -0.85270157 0.48944085 -48.856201 28.042895
    Oben rechts KachelX + 1 11938 KachelY 13723 -0.85250982 0.48944085 -48.845215 28.042895
    Unten links KachelX 11937 KachelY + 1 13724 -0.85270157 0.48927160 -48.856201 28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 11938 KachelY + 1 13724 -0.85250982 0.48927160 -48.845215 28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48944085-0.48927160) × R
    0.00016925000000001 × 6371000     		dl = 1078.29175000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48944085-0.48927160) × R
    0.00016925000000001 × 6371000     		dr = 1078.29175000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85270157--0.85250982) × cos(0.48944085) × R
    0.000191750000000046 × 0.882595871131663 × 6371000     		do = 1078.21375806264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85270157--0.85250982) × cos(0.48927160) × R
    0.000191750000000046 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 1078.31094835478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48944085)-sin(0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882595871131663-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.85250982--0.85270157)×7.95572769444197e-05×R²
    0.000191750000000046×7.95572769444197e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.95572769444197e-05×40589641000000     		ar = 1162681.40257614m²