Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119355 / 117177
↖ ↑ ↗
← S 80.383184°
E147.818298°		 ← 51.02 m → S 80.383184°
E147.821045°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
S 80.383643°
E147.818298°		 ← 51.02 m →
2 604 m²		 S 80.383643°
E147.821045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910610198974609 y=0.893993377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910610198974609 × 217)
    floor (0.910610198974609 × 131072)
    floor (119355.5)     		tx = 119355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893993377685547 × 217)
    floor (0.893993377685547 × 131072)
    floor (117177.5)     		ty = 117177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119355 / 117177 ti = "17/119355/117177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119355/117177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119355 ÷ 217
    119355 ÷ 131072     		x = 0.910606384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117177 ÷ 217
    117177 ÷ 131072     		y = 0.893989562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910606384277344 × 2 - 1) × π
    0.821212768554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.57991600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893989562988281 × 2 - 1) × π
    -0.787979125976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.47550943327932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57991600} λ = 2.57991600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47550943327932))-π/2
    2×atan(0.0841201257484169)-π/2
    2×0.0839225471154957-π/2
    0.167845094230991-1.57079632675     		φ = -1.40295123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57991600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.818298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40295123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.383184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119355 KachelY 117177 2.57991600 -1.40295123 147.818298 -80.383184
    Oben rechts KachelX + 1 119356 KachelY 117177 2.57996394 -1.40295123 147.821045 -80.383184
    Unten links KachelX 119355 KachelY + 1 117178 2.57991600 -1.40295924 147.818298 -80.383643
    Unten rechts KachelX + 1 119356 KachelY + 1 117178 2.57996394 -1.40295924 147.821045 -80.383643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40295123--1.40295924) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40295123--1.40295924) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57991600-2.57996394) × cos(-1.40295123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167058118129506 × 6371000     		do = 51.0238493526785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57991600-2.57996394) × cos(-1.40295924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167050220688278 × 6371000     		du = 51.0214372708471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40295123)-sin(-1.40295924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167058118129506-0.167050220688278)×R²
    abs(2.57996394-2.57991600)×7.89744122864366e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89744122864366e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89744122864366e-06×40589641000000     		ar = 2603.77273702492m²