Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119352 / 117368
↖ ↑ ↗
← S 80.470428°
E147.810059°		 ← 50.57 m → S 80.470428°
E147.812805°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
S 80.470883°
E147.810059°		 ← 50.56 m →
2 558 m²		 S 80.470883°
E147.812805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910587310791016 y=0.895450592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910587310791016 × 217)
    floor (0.910587310791016 × 131072)
    floor (119352.5)     		tx = 119352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895450592041016 × 217)
    floor (0.895450592041016 × 131072)
    floor (117368.5)     		ty = 117368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119352 / 117368 ti = "17/119352/117368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119352/117368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119352 ÷ 217
    119352 ÷ 131072     		x = 0.91058349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117368 ÷ 217
    117368 ÷ 131072     		y = 0.89544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91058349609375 × 2 - 1) × π
    0.8211669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57977219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48466538110675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57977219} λ = 2.57977219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48466538110675))-π/2
    2×atan(0.0833534414824066)-π/2
    2×0.08316120132739-π/2
    0.16632240265478-1.57079632675     		φ = -1.40447392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57977219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40447392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.470428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119352 KachelY 117368 2.57977219 -1.40447392 147.810059 -80.470428
    Oben rechts KachelX + 1 119353 KachelY 117368 2.57982013 -1.40447392 147.812805 -80.470428
    Unten links KachelX 119352 KachelY + 1 117369 2.57977219 -1.40448186 147.810059 -80.470883
    Unten rechts KachelX + 1 119353 KachelY + 1 117369 2.57982013 -1.40448186 147.812805 -80.470883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40447392--1.40448186) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40447392--1.40448186) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57977219-2.57982013) × cos(-1.40447392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165556633327098 × 6371000     		do = 50.5652572458043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57977219-2.57982013) × cos(-1.40448186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16554880289162 × 6371000     		du = 50.5628656292541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40447392)-sin(-1.40448186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165556633327098-0.16554880289162)×R²
    abs(2.57982013-2.57977219)×7.83043547747386e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83043547747386e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83043547747386e-06×40589641000000     		ar = 2557.82046516904m²