Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119351 / 117367
↖ ↑ ↗
← S 80.469974°
E147.807312°		 ← 50.57 m → S 80.469974°
E147.810059°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
S 80.470428°
E147.807312°		 ← 50.57 m →
2 555 m²		 S 80.470428°
E147.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910579681396484 y=0.895442962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910579681396484 × 217)
    floor (0.910579681396484 × 131072)
    floor (119351.5)     		tx = 119351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895442962646484 × 217)
    floor (0.895442962646484 × 131072)
    floor (117367.5)     		ty = 117367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119351 / 117367 ti = "17/119351/117367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119351/117367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119351 ÷ 217
    119351 ÷ 131072     		x = 0.910575866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117367 ÷ 217
    117367 ÷ 131072     		y = 0.895439147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910575866699219 × 2 - 1) × π
    0.821151733398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57972425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895439147949219 × 2 - 1) × π
    -0.790878295898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.48461744420713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57972425} λ = 2.57972425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48461744420713))-π/2
    2×atan(0.0833574372837363)-π/2
    2×0.0831651695569478-π/2
    0.166330339113896-1.57079632675     		φ = -1.40446599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57972425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.807312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40446599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.469974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119351 KachelY 117367 2.57972425 -1.40446599 147.807312 -80.469974
    Oben rechts KachelX + 1 119352 KachelY 117367 2.57977219 -1.40446599 147.810059 -80.469974
    Unten links KachelX 119351 KachelY + 1 117368 2.57972425 -1.40447392 147.807312 -80.470428
    Unten rechts KachelX + 1 119352 KachelY + 1 117368 2.57977219 -1.40447392 147.810059 -80.470428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40446599--1.40447392) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40446599--1.40447392) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57972425-2.57977219) × cos(-1.40446599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165564453890148 × 6371000     		do = 50.5676458470612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57972425-2.57977219) × cos(-1.40447392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165556633327098 × 6371000     		du = 50.5652572458043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40446599)-sin(-1.40447392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165564453890148-0.165556633327098)×R²
    abs(2.57977219-2.57972425)×7.82056305054235e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.82056305054235e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.82056305054235e-06×40589641000000     		ar = 2554.71978208758m²