Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119343 / 117294
↖ ↑ ↗
← S 80.436720°
E147.785339°		 ← 50.73 m → S 80.436720°
E147.788086°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
S 80.437177°
E147.785339°		 ← 50.73 m →
2 576 m²		 S 80.437177°
E147.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910518646240234 y=0.894886016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910518646240234 × 217)
    floor (0.910518646240234 × 131072)
    floor (119343.5)     		tx = 119343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894886016845703 × 217)
    floor (0.894886016845703 × 131072)
    floor (117294.5)     		ty = 117294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119343 / 117294 ti = "17/119343/117294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119343/117294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119343 ÷ 217
    119343 ÷ 131072     		x = 0.910514831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117294 ÷ 217
    117294 ÷ 131072     		y = 0.894882202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910514831542969 × 2 - 1) × π
    0.821029663085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57934076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894882202148438 × 2 - 1) × π
    -0.789764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48111805053487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57934076} λ = 2.57934076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48111805053487))-π/2
    2×atan(0.0836496487555951)-π/2
    2×0.0834553575915712-π/2
    0.166910715183142-1.57079632675     		φ = -1.40388561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57934076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.785339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40388561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.436720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119343 KachelY 117294 2.57934076 -1.40388561 147.785339 -80.436720
    Oben rechts KachelX + 1 119344 KachelY 117294 2.57938869 -1.40388561 147.788086 -80.436720
    Unten links KachelX 119343 KachelY + 1 117295 2.57934076 -1.40389358 147.785339 -80.437177
    Unten rechts KachelX + 1 119344 KachelY + 1 117295 2.57938869 -1.40389358 147.788086 -80.437177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40388561--1.40389358) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dl = 50.7768700012126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40388561--1.40389358) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dr = 50.7768700012126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57934076-2.57938869) × cos(-1.40388561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166136796132717 × 6371000     		do = 50.7318693248136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57934076-2.57938869) × cos(-1.40389358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1661289368888 × 6371000     		du = 50.7294694101368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40388561)-sin(-1.40389358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166136796132717-0.1661289368888)×R²
    abs(2.57938869-2.57934076)×7.85924391702442e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.85924391702442e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.85924391702442e-06×40589641000000     		ar = 2575.94460360476m²