Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11934 / 13731
↖ ↑ ↗
← N 27.965295°
W 48.889160°		 ← 1 078.93 m → N 27.965295°
W 48.878174°		 →
↑
1 078.99 m
↓
↑
1 078.99 m
↓
N 27.955591°
W 48.889160°		 ← 1 079.03 m →
1 164 214 m²		 N 27.955591°
W 48.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364212036132812 y=0.419052124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364212036132812 × 215)
    floor (0.364212036132812 × 32768)
    floor (11934.5)     		tx = 11934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419052124023438 × 215)
    floor (0.419052124023438 × 32768)
    floor (13731.5)     		ty = 13731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11934 / 13731 ti = "15/11934/13731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11934/13731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11934 ÷ 215
    11934 ÷ 32768     		x = 0.36419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13731 ÷ 215
    13731 ÷ 32768     		y = 0.419036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.2716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85327681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    0.16192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.508706378768036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85327681} λ = -0.85327681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508706378768036))-π/2
    2×atan(1.66313833169373)-π/2
    2×1.02944139967186-π/2
    2.05888279934372-1.57079632675     		φ = 0.48808647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85327681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48808647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.965295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11934 KachelY 13731 -0.85327681 0.48808647 -48.889160 27.965295
    Oben rechts KachelX + 1 11935 KachelY 13731 -0.85308507 0.48808647 -48.878174 27.965295
    Unten links KachelX 11934 KachelY + 1 13732 -0.85327681 0.48791711 -48.889160 27.955591
    Unten rechts KachelX + 1 11935 KachelY + 1 13732 -0.85308507 0.48791711 -48.878174 27.955591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48808647-0.48791711) × R
    0.000169360000000007 × 6371000     		dl = 1078.99256000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48808647-0.48791711) × R
    0.000169360000000007 × 6371000     		dr = 1078.99256000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85327681--0.85308507) × cos(0.48808647) × R
    0.000191739999999996 × 0.883231799443126 × 6371000     		do = 1078.93436234989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85327681--0.85308507) × cos(0.48791711) × R
    0.000191739999999996 × 0.883311205888223 × 6371000     		du = 1079.03136332093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48808647)-sin(0.48791711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883231799443126-0.883311205888223)×R²
    abs(-0.85308507--0.85327681)×7.94064450965193e-05×R²
    0.000191739999999996×7.94064450965193e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.94064450965193e-05×40589641000000     		ar = 1164214.48414969m²