Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119332 / 118180
↖ ↑ ↗
← S 80.832657°
E147.755127°		 ← 48.66 m → S 80.832657°
E147.757874°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.833095°
E147.755127°		 ← 48.66 m →
2 368 m²		 S 80.833095°
E147.757874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910434722900391 y=0.901645660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910434722900391 × 217)
    floor (0.910434722900391 × 131072)
    floor (119332.5)     		tx = 119332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901645660400391 × 217)
    floor (0.901645660400391 × 131072)
    floor (118180.5)     		ty = 118180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119332 / 118180 ti = "17/119332/118180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119332/118180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119332 ÷ 217
    119332 ÷ 131072     		x = 0.910430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118180 ÷ 217
    118180 ÷ 131072     		y = 0.901641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910430908203125 × 2 - 1) × π
    0.82086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57881345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.80328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52359014359824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57881345} λ = 2.57881345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52359014359824))-π/2
    2×atan(0.0801712631146796)-π/2
    2×0.0800001573949637-π/2
    0.160000314789927-1.57079632675     		φ = -1.41079601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57881345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41079601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.832657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119332 KachelY 118180 2.57881345 -1.41079601 147.755127 -80.832657
    Oben rechts KachelX + 1 119333 KachelY 118180 2.57886139 -1.41079601 147.757874 -80.832657
    Unten links KachelX 119332 KachelY + 1 118181 2.57881345 -1.41080365 147.755127 -80.833095
    Unten rechts KachelX + 1 119333 KachelY + 1 118181 2.57886139 -1.41080365 147.757874 -80.833095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41079601--1.41080365) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41079601--1.41080365) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57881345-2.57886139) × cos(-1.41079601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159318519362803 × 6371000     		do = 48.6599766720565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57881345-2.57886139) × cos(-1.41080365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159310976942094 × 6371000     		du = 48.6576730226301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41079601)-sin(-1.41080365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159318519362803-0.159310976942094)×R²
    abs(2.57886139-2.57881345)×7.54242070899469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54242070899469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54242070899469e-06×40589641000000     		ar = 2368.44105060497m²