Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119324 / 117284
↖ ↑ ↗
← S 80.432156°
E147.733154°		 ← 50.76 m → S 80.432156°
E147.735901°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
S 80.432613°
E147.733154°		 ← 50.75 m →
2 577 m²		 S 80.432613°
E147.735901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910373687744141 y=0.894809722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910373687744141 × 217)
    floor (0.910373687744141 × 131072)
    floor (119324.5)     		tx = 119324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894809722900391 × 217)
    floor (0.894809722900391 × 131072)
    floor (117284.5)     		ty = 117284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119324 / 117284 ti = "17/119324/117284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119324/117284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119324 ÷ 217
    119324 ÷ 131072     		x = 0.910369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117284 ÷ 217
    117284 ÷ 131072     		y = 0.894805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910369873046875 × 2 - 1) × π
    0.82073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57842996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.78961181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48063868153867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57842996} λ = 2.57842996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48063868153867))-π/2
    2×atan(0.0836897574164078)-π/2
    2×0.083495187418924-π/2
    0.166990374837848-1.57079632675     		φ = -1.40380595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57842996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.733154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40380595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.432156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119324 KachelY 117284 2.57842996 -1.40380595 147.733154 -80.432156
    Oben rechts KachelX + 1 119325 KachelY 117284 2.57847789 -1.40380595 147.735901 -80.432156
    Unten links KachelX 119324 KachelY + 1 117285 2.57842996 -1.40381392 147.733154 -80.432613
    Unten rechts KachelX + 1 119325 KachelY + 1 117285 2.57847789 -1.40381392 147.735901 -80.432613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40380595--1.40381392) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40380595--1.40381392) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57842996-2.57847789) × cos(-1.40380595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1662153485478 × 6371000     		do = 50.7558562497448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57842996-2.57847789) × cos(-1.40381392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166207489409384 × 6371000     		du = 50.7534563672841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40380595)-sin(-1.40381392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1662153485478-0.166207489409384)×R²
    abs(2.57847789-2.57842996)×7.85913841575003e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.85913841575003e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.85913841575003e-06×40589641000000     		ar = 2577.16258545512m²