Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119319 / 117283
↖ ↑ ↗
← S 80.431700°
E147.719421°		 ← 50.77 m → S 80.431700°
E147.722168°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
S 80.432156°
E147.719421°		 ← 50.77 m →
2 578 m²		 S 80.432156°
E147.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910335540771484 y=0.894802093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910335540771484 × 217)
    floor (0.910335540771484 × 131072)
    floor (119319.5)     		tx = 119319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894802093505859 × 217)
    floor (0.894802093505859 × 131072)
    floor (117283.5)     		ty = 117283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119319 / 117283 ti = "17/119319/117283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119319/117283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119319 ÷ 217
    119319 ÷ 131072     		x = 0.910331726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117283 ÷ 217
    117283 ÷ 131072     		y = 0.894798278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910331726074219 × 2 - 1) × π
    0.820663452148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.57819027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894798278808594 × 2 - 1) × π
    -0.789596557617188 × 3.1415926535     		Φ = -2.48059074463905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57819027} λ = 2.57819027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48059074463905))-π/2
    2×atan(0.0836937693400671)-π/2
    2×0.0834991714372788-π/2
    0.166998342874558-1.57079632675     		φ = -1.40379798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57819027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.719421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40379798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.431700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119319 KachelY 117283 2.57819027 -1.40379798 147.719421 -80.431700
    Oben rechts KachelX + 1 119320 KachelY 117283 2.57823821 -1.40379798 147.722168 -80.431700
    Unten links KachelX 119319 KachelY + 1 117284 2.57819027 -1.40380595 147.719421 -80.432156
    Unten rechts KachelX + 1 119320 KachelY + 1 117284 2.57823821 -1.40380595 147.722168 -80.432156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40379798--1.40380595) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40379798--1.40380595) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57819027-2.57823821) × cos(-1.40379798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166223207675657 × 6371000     		do = 50.768846209478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57819027-2.57823821) × cos(-1.40380595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1662153485478 × 6371000     		du = 50.7664458295364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40379798)-sin(-1.40380595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166223207675657-0.1662153485478)×R²
    abs(2.57823821-2.57819027)×7.85912785755682e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85912785755682e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85912785755682e-06×40589641000000     		ar = 2577.82216198419m²