Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119318 / 117207
↖ ↑ ↗
← S 80.396940°
E147.716675°		 ← 50.94 m → S 80.396940°
E147.719421°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
S 80.397398°
E147.716675°		 ← 50.94 m →
2 596 m²		 S 80.397398°
E147.719421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910327911376953 y=0.894222259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910327911376953 × 217)
    floor (0.910327911376953 × 131072)
    floor (119318.5)     		tx = 119318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894222259521484 × 217)
    floor (0.894222259521484 × 131072)
    floor (117207.5)     		ty = 117207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119318 / 117207 ti = "17/119318/117207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119318/117207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119318 ÷ 217
    119318 ÷ 131072     		x = 0.910324096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117207 ÷ 217
    117207 ÷ 131072     		y = 0.894218444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910324096679688 × 2 - 1) × π
    0.820648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57814234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894218444824219 × 2 - 1) × π
    -0.788436889648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.47694754026792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57814234} λ = 2.57814234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47694754026792))-π/2
    2×atan(0.0839992389526034)-π/2
    2×0.0838025085161917-π/2
    0.167605017032383-1.57079632675     		φ = -1.40319131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57814234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.716675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40319131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.396940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119318 KachelY 117207 2.57814234 -1.40319131 147.716675 -80.396940
    Oben rechts KachelX + 1 119319 KachelY 117207 2.57819027 -1.40319131 147.719421 -80.396940
    Unten links KachelX 119318 KachelY + 1 117208 2.57814234 -1.40319931 147.716675 -80.397398
    Unten rechts KachelX + 1 119319 KachelY + 1 117208 2.57819027 -1.40319931 147.719421 -80.397398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40319131--1.40319931) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40319131--1.40319931) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57814234-2.57819027) × cos(-1.40319131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166821407149563 × 6371000     		do = 50.9409235346784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57814234-2.57819027) × cos(-1.40319931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166813519247195 × 6371000     		du = 50.9385148687987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40319131)-sin(-1.40319931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166821407149563-0.166813519247195)×R²
    abs(2.57819027-2.57814234)×7.88790236841419e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.88790236841419e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.88790236841419e-06×40589641000000     		ar = 2596.29560814769m²