Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119317 / 117301
↖ ↑ ↗
← S 80.439914°
E147.713928°		 ← 50.73 m → S 80.439914°
E147.716675°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
S 80.440370°
E147.713928°		 ← 50.72 m →
2 572 m²		 S 80.440370°
E147.716675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910320281982422 y=0.894939422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910320281982422 × 217)
    floor (0.910320281982422 × 131072)
    floor (119317.5)     		tx = 119317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894939422607422 × 217)
    floor (0.894939422607422 × 131072)
    floor (117301.5)     		ty = 117301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119317 / 117301 ti = "17/119317/117301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119317/117301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119317 ÷ 217
    119317 ÷ 131072     		x = 0.910316467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117301 ÷ 217
    117301 ÷ 131072     		y = 0.894935607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910316467285156 × 2 - 1) × π
    0.820632934570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.57809440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894935607910156 × 2 - 1) × π
    -0.789871215820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.48145360883221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57809440} λ = 2.57809440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48145360883221))-π/2
    2×atan(0.0836215841308078)-π/2
    2×0.0834274879128567-π/2
    0.166854975825713-1.57079632675     		φ = -1.40394135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57809440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.713928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40394135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.439914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119317 KachelY 117301 2.57809440 -1.40394135 147.713928 -80.439914
    Oben rechts KachelX + 1 119318 KachelY 117301 2.57814234 -1.40394135 147.716675 -80.439914
    Unten links KachelX 119317 KachelY + 1 117302 2.57809440 -1.40394931 147.713928 -80.440370
    Unten rechts KachelX + 1 119318 KachelY + 1 117302 2.57814234 -1.40394931 147.716675 -80.440370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40394135--1.40394931) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40394135--1.40394931) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57809440-2.57814234) × cos(-1.40394135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166081830509309 × 6371000     		do = 50.7256659838271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57809440-2.57814234) × cos(-1.40394931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166073981052734 × 6371000     		du = 50.7232685577439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40394135)-sin(-1.40394931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166081830509309-0.166073981052734)×R²
    abs(2.57814234-2.57809440)×7.84945657583691e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.84945657583691e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.84945657583691e-06×40589641000000     		ar = 2572.398024646m²