Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119311 / 117300
↖ ↑ ↗
← S 80.439458°
E147.697449°		 ← 50.72 m → S 80.439458°
E147.700195°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
S 80.439914°
E147.697449°		 ← 50.72 m →
2 572 m²		 S 80.439914°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910274505615234 y=0.894931793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910274505615234 × 217)
    floor (0.910274505615234 × 131072)
    floor (119311.5)     		tx = 119311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894931793212891 × 217)
    floor (0.894931793212891 × 131072)
    floor (117300.5)     		ty = 117300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119311 / 117300 ti = "17/119311/117300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119311/117300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119311 ÷ 217
    119311 ÷ 131072     		x = 0.910270690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117300 ÷ 217
    117300 ÷ 131072     		y = 0.894927978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910270690917969 × 2 - 1) × π
    0.820541381835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57780678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.78985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48140567193259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57780678} λ = 2.57780678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48140567193259))-π/2
    2×atan(0.0836255927863728)-π/2
    2×0.0834314687309408-π/2
    0.166862937461882-1.57079632675     		φ = -1.40393339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57780678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.697449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40393339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.439458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119311 KachelY 117300 2.57780678 -1.40393339 147.697449 -80.439458
    Oben rechts KachelX + 1 119312 KachelY 117300 2.57785471 -1.40393339 147.700195 -80.439458
    Unten links KachelX 119311 KachelY + 1 117301 2.57780678 -1.40394135 147.697449 -80.439914
    Unten rechts KachelX + 1 119312 KachelY + 1 117301 2.57785471 -1.40394135 147.700195 -80.439914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40393339--1.40394135) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40393339--1.40394135) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57780678-2.57785471) × cos(-1.40393339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166089679955362 × 6371000     		do = 50.7174818332507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57780678-2.57785471) × cos(-1.40394135) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166081830509309 × 6371000     		du = 50.7150849104697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40393339)-sin(-1.40394135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166089679955362-0.166081830509309)×R²
    abs(2.57785471-2.57780678)×7.84944605261573e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.84944605261573e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.84944605261573e-06×40589641000000     		ar = 2571.98299337548m²