Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119311 / 117298
↖ ↑ ↗
← S 80.438545°
E147.697449°		 ← 50.72 m → S 80.438545°
E147.700195°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
S 80.439002°
E147.697449°		 ← 50.72 m →
2 575 m²		 S 80.439002°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910274505615234 y=0.894916534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910274505615234 × 217)
    floor (0.910274505615234 × 131072)
    floor (119311.5)     		tx = 119311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894916534423828 × 217)
    floor (0.894916534423828 × 131072)
    floor (117298.5)     		ty = 117298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119311 / 117298 ti = "17/119311/117298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119311/117298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119311 ÷ 217
    119311 ÷ 131072     		x = 0.910270690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117298 ÷ 217
    117298 ÷ 131072     		y = 0.894912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910270690917969 × 2 - 1) × π
    0.820541381835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.57780678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.789825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48130979813335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57780678} λ = 2.57780678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48130979813335))-π/2
    2×atan(0.0836336106740135)-π/2
    2×0.0834394309316639-π/2
    0.166878861863328-1.57079632675     		φ = -1.40391746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57780678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.697449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40391746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.438545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119311 KachelY 117298 2.57780678 -1.40391746 147.697449 -80.438545
    Oben rechts KachelX + 1 119312 KachelY 117298 2.57785471 -1.40391746 147.700195 -80.438545
    Unten links KachelX 119311 KachelY + 1 117299 2.57780678 -1.40392543 147.697449 -80.439002
    Unten rechts KachelX + 1 119312 KachelY + 1 117299 2.57785471 -1.40392543 147.700195 -80.439002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40391746--1.40392543) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40391746--1.40392543) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57780678-2.57785471) × cos(-1.40391746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166105388676976 × 6371000     		do = 50.7222786803714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57780678-2.57785471) × cos(-1.40392543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166097529390891 × 6371000     		du = 50.7198787528182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40391746)-sin(-1.40392543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166105388676976-0.166097529390891)×R²
    abs(2.57785471-2.57780678)×7.85928608471043e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.85928608471043e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.85928608471043e-06×40589641000000     		ar = 2575.45762024495m²