Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119304 / 117336
↖ ↑ ↗
← S 80.455866°
E147.678223°		 ← 50.64 m → S 80.455866°
E147.680969°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
S 80.456322°
E147.678223°		 ← 50.64 m →
2 565 m²		 S 80.456322°
E147.680969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910221099853516 y=0.895206451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910221099853516 × 217)
    floor (0.910221099853516 × 131072)
    floor (119304.5)     		tx = 119304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895206451416016 × 217)
    floor (0.895206451416016 × 131072)
    floor (117336.5)     		ty = 117336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119304 / 117336 ti = "17/119304/117336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119304/117336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119304 ÷ 217
    119304 ÷ 131072     		x = 0.91021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117336 ÷ 217
    117336 ÷ 131072     		y = 0.89520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91021728515625 × 2 - 1) × π
    0.8204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57747122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57747122} λ = 2.57747122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48313140031891))-π/2
    2×atan(0.0834814021797748)-π/2
    2×0.0832882777674683-π/2
    0.166576555534937-1.57079632675     		φ = -1.40421977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57747122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40421977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.455866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119304 KachelY 117336 2.57747122 -1.40421977 147.678223 -80.455866
    Oben rechts KachelX + 1 119305 KachelY 117336 2.57751916 -1.40421977 147.680969 -80.455866
    Unten links KachelX 119304 KachelY + 1 117337 2.57747122 -1.40422772 147.678223 -80.456322
    Unten rechts KachelX + 1 119305 KachelY + 1 117337 2.57751916 -1.40422772 147.680969 -80.456322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40421977--1.40422772) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dl = 50.6494499991577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40421977--1.40422772) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dr = 50.6494499991577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57747122-2.57751916) × cos(-1.40421977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165807270779871 × 6371000     		do = 50.6418083752894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57747122-2.57751916) × cos(-1.40422772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165799430817129 × 6371000     		du = 50.6394138488673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40421977)-sin(-1.40422772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165807270779871-0.165799430817129)×R²
    abs(2.57751916-2.57747122)×7.839962742201e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.839962742201e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.839962742201e-06×40589641000000     		ar = 2564.91910047355m²