Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1193 / 937
↖ ↑ ↗
← N 15.114553°
E 29.707031°		 ← 18.870 km → N 15.114553°
E 29.882813°		 →
↑
18.877 km
↓
↑
18.877 km
↓
N 14.944785°
E 29.707031°		 ← 18.885 km →
356.354 km²		 N 14.944785°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582763671875 y=0.457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582763671875 × 211)
    floor (0.582763671875 × 2048)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457763671875 × 211)
    floor (0.457763671875 × 2048)
    floor (937.5)     		ty = 937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1193 / 937 ti = "11/1193/937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1193/937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 211
    1193 ÷ 2048     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 937 ÷ 211
    937 ÷ 2048     		y = 0.45751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    0.0849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266912657084473))-π/2
    2×atan(1.30592637793188)-π/2
    2×0.917297519684861-π/2
    1.83459503936972-1.57079632675     		φ = 0.26379871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26379871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.114553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 937 0.51848551 0.26379871 29.707031 15.114553
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 937 0.52155347 0.26379871 29.882813 15.114553
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 938 0.51848551 0.26083570 29.707031 14.944785
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 938 0.52155347 0.26083570 29.882813 14.944785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26379871-0.26083570) × R
    0.00296300999999999 × 6371000     		dl = 18877.3367099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26379871-0.26083570) × R
    0.00296300999999999 × 6371000     		dr = 18877.3367099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.26379871) × R
    0.00306795999999998 × 0.965406433429109 × 6371000     		do = 18869.8082362966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.26083570) × R
    0.00306795999999998 × 0.966174798481606 × 6371000     		du = 18884.8266789898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26379871)-sin(0.26083570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965406433429109-0.966174798481606)×R²
    abs(0.52155347-0.51848551)×0.000768365052496889×R²
    0.00306795999999998×0.000768365052496889×6371000²
    0.00306795999999998×0.000768365052496889×40589641000000     		ar = 356353738.544699m²