Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1193 / 926
↖ ↑ ↗
← N 16.972741°
E 29.707031°		 ← 18.695 km → N 16.972741°
E 29.882813°		 →
↑
18.703 km
↓
↑
18.703 km
↓
N 16.804541°
E 29.707031°		 ← 18.711 km →
349.801 km²		 N 16.804541°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582763671875 y=0.452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582763671875 × 211)
    floor (0.582763671875 × 2048)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452392578125 × 211)
    floor (0.452392578125 × 2048)
    floor (926.5)     		ty = 926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1193 / 926 ti = "11/1193/926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1193/926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 211
    1193 ÷ 2048     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 926 ÷ 211
    926 ÷ 2048     		y = 0.4521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300660234416992))-π/2
    2×atan(1.35075032509173)-π/2
    2×0.933513270336981-π/2
    1.86702654067396-1.57079632675     		φ = 0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 926 0.51848551 0.29623021 29.707031 16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 926 0.52155347 0.29623021 29.882813 16.972741
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 927 0.51848551 0.29329457 29.707031 16.804541
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 927 0.52155347 0.29329457 29.882813 16.804541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29623021-0.29329457) × R
    0.00293564000000002 × 6371000     		dl = 18702.9624400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29623021-0.29329457) × R
    0.00293564000000002 × 6371000     		dr = 18702.9624400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.29623021) × R
    0.00306795999999998 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 18694.6238141695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.29329457) × R
    0.00306795999999998 × 0.95729658711815 × 6371000     		du = 18711.2933979708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29623021)-sin(0.29329457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.95729658711815)×R²
    abs(0.52155347-0.51848551)×0.000852839797991223×R²
    0.00306795999999998×0.000852839797991223×6371000²
    0.00306795999999998×0.000852839797991223×40589641000000     		ar = 349800983.541134m²