Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1193 / 919
↖ ↑ ↗
← N 18.145852°
E 29.707031°		 ← 18.574 km → N 18.145852°
E 29.882813°		 →
↑
18.583 km
↓
↑
18.583 km
↓
N 17.978733°
E 29.707031°		 ← 18.592 km →
345.318 km²		 N 17.978733°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582763671875 y=0.448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582763671875 × 211)
    floor (0.582763671875 × 2048)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448974609375 × 211)
    floor (0.448974609375 × 2048)
    floor (919.5)     		ty = 919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1193 / 919 ti = "11/1193/919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1193/919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 211
    1193 ÷ 2048     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 919 ÷ 211
    919 ÷ 2048     		y = 0.44873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    0.1025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322135965446777))-π/2
    2×atan(1.38007240536258)-π/2
    2×0.943750592890531-π/2
    1.88750118578106-1.57079632675     		φ = 0.31670486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31670486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.145852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 919 0.51848551 0.31670486 29.707031 18.145852
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 919 0.52155347 0.31670486 29.882813 18.145852
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 920 0.51848551 0.31378809 29.707031 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 920 0.52155347 0.31378809 29.882813 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31670486-0.31378809) × R
    0.00291676999999996 × 6371000     		dl = 18582.7416699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31670486-0.31378809) × R
    0.00291676999999996 × 6371000     		dr = 18582.7416699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.31670486) × R
    0.00306795999999998 × 0.950266803693645 × 6371000     		do = 18573.8894398349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.31378809) × R
    0.00306795999999998 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 18591.5657737879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31670486)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950266803693645-0.951171150272265)×R²
    abs(0.52155347-0.51848551)×0.00090434657861993×R²
    0.00306795999999998×0.00090434657861993×6371000²
    0.00306795999999998×0.00090434657861993×40589641000000     		ar = 345318271.459005m²