Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1193 / 905
↖ ↑ ↗
← N 20.468189°
E 29.707031°		 ← 18.312 km → N 20.468189°
E 29.882813°		 →
↑
18.322 km
↓
↑
18.322 km
↓
N 20.303418°
E 29.707031°		 ← 18.332 km →
335.686 km²		 N 20.303418°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582763671875 y=0.442138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582763671875 × 211)
    floor (0.582763671875 × 2048)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442138671875 × 211)
    floor (0.442138671875 × 2048)
    floor (905.5)     		ty = 905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1193 / 905 ti = "11/1193/905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1193/905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 211
    1193 ÷ 2048     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 905 ÷ 211
    905 ÷ 2048     		y = 0.44189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365087427506348))-π/2
    2×atan(1.4406399542023)-π/2
    2×0.964016810320712-π/2
    1.92803362064142-1.57079632675     		φ = 0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 905 0.51848551 0.35723729 29.707031 20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 905 0.52155347 0.35723729 29.882813 20.468189
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 906 0.51848551 0.35436149 29.707031 20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 906 0.52155347 0.35436149 29.882813 20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35723729-0.35436149) × R
    0.00287579999999998 × 6371000     		dl = 18321.7217999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35723729-0.35436149) × R
    0.00287579999999998 × 6371000     		dr = 18321.7217999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.35723729) × R
    0.00306795999999998 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 18311.967118356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.52155347) × cos(0.35436149) × R
    0.00306795999999998 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 18331.5473995795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35723729)-sin(0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.93786823759148)×R²
    abs(0.52155347-0.51848551)×0.00100175524969626×R²
    0.00306795999999998×0.00100175524969626×6371000²
    0.00306795999999998×0.00100175524969626×40589641000000     		ar = 335686370.736141m²