Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1193 / 743
↖ ↑ ↗
← N 81.261711°
W127.573242°		 ← 742.36 m → N 81.261711°
W127.529297°		 →
↑
742.60 m
↓
↑
742.60 m
↓
N 81.255032°
W127.573242°		 ← 742.93 m →
551 490 m²		 N 81.255032°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14569091796875 y=0.09075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14569091796875 × 213)
    floor (0.14569091796875 × 8192)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09075927734375 × 213)
    floor (0.09075927734375 × 8192)
    floor (743.5)     		ty = 743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1193 / 743 ti = "13/1193/743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1193/743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 213
    1193 ÷ 8192     		x = 0.1456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 743 ÷ 213
    743 ÷ 8192     		y = 0.0906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22657311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0906982421875 × 2 - 1) × π
    0.818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57171879081677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22657311} λ = -2.22657311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57171879081677))-π/2
    2×atan(13.0883011708622)-π/2
    2×1.4945403703112-π/2
    2.98908074062239-1.57079632675     		φ = 1.41828441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22657311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.573242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41828441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.261711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 743 -2.22657311 1.41828441 -127.573242 81.261711
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 743 -2.22580612 1.41828441 -127.529297 81.261711
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 744 -2.22657311 1.41816785 -127.573242 81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 744 -2.22580612 1.41816785 -127.529297 81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41828441-1.41816785) × R
    0.000116560000000154 × 6371000     		dl = 742.603760000983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41828441-1.41816785) × R
    0.000116560000000154 × 6371000     		dr = 742.603760000983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22657311--2.22580612) × cos(1.41828441) × R
    0.000766989999999801 × 0.151921369082067 × 6371000     		do = 742.362750626943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22657311--2.22580612) × cos(1.41816785) × R
    0.000766989999999801 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 742.925704007917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41828441)-sin(1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151921369082067-0.152036575089231)×R²
    abs(-2.22580612--2.22657311)×0.000115206007163887×R²
    0.000766989999999801×0.000115206007163887×6371000²
    0.000766989999999801×0.000115206007163887×40589641000000     		ar = 551490.396175838m²