Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1193 / 679
↖ ↑ ↗
← N 81.678786°
W127.573242°		 ← 707.19 m → N 81.678786°
W127.529297°		 →
↑
707.44 m
↓
↑
707.44 m
↓
N 81.672424°
W127.573242°		 ← 707.72 m →
500 479 m²		 N 81.672424°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14569091796875 y=0.08294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14569091796875 × 213)
    floor (0.14569091796875 × 8192)
    floor (1193.5)     		tx = 1193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08294677734375 × 213)
    floor (0.08294677734375 × 8192)
    floor (679.5)     		ty = 679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1193 / 679 ti = "13/1193/679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1193/679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1193 ÷ 213
    1193 ÷ 8192     		x = 0.1456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 679 ÷ 213
    679 ÷ 8192     		y = 0.0828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22657311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0828857421875 × 2 - 1) × π
    0.834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62080617602771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22657311} λ = -2.22657311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62080617602771))-π/2
    2×atan(13.7468014609145)-π/2
    2×1.49818004028892-π/2
    2.99636008057785-1.57079632675     		φ = 1.42556375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22657311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.573242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42556375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.678786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1193 KachelY 679 -2.22657311 1.42556375 -127.573242 81.678786
    Oben rechts KachelX + 1 1194 KachelY 679 -2.22580612 1.42556375 -127.529297 81.678786
    Unten links KachelX 1193 KachelY + 1 680 -2.22657311 1.42545271 -127.573242 81.672424
    Unten rechts KachelX + 1 1194 KachelY + 1 680 -2.22580612 1.42545271 -127.529297 81.672424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42556375-1.42545271) × R
    0.000111039999999951 × 6371000     		dl = 707.435839999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42556375-1.42545271) × R
    0.000111039999999951 × 6371000     		dr = 707.435839999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22657311--2.22580612) × cos(1.42556375) × R
    0.000766989999999801 × 0.144722561912631 × 6371000     		do = 707.185827697497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22657311--2.22580612) × cos(1.42545271) × R
    0.000766989999999801 × 0.144832432021451 × 6371000     		du = 707.722707247019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42556375)-sin(1.42545271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144722561912631-0.144832432021451)×R²
    abs(-2.22580612--2.22657311)×0.000109870108820298×R²
    0.000766989999999801×0.000109870108820298×6371000²
    0.000766989999999801×0.000109870108820298×40589641000000     		ar = 500478.504483658m²