Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119296 / 118272
↖ ↑ ↗
← S 80.872827°
E147.656250°		 ← 48.45 m → S 80.872827°
E147.658997°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.873263°
E147.656250°		 ← 48.45 m →
2 346 m²		 S 80.873263°
E147.658997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910160064697266 y=0.902347564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910160064697266 × 217)
    floor (0.910160064697266 × 131072)
    floor (119296.5)     		tx = 119296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902347564697266 × 217)
    floor (0.902347564697266 × 131072)
    floor (118272.5)     		ty = 118272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119296 / 118272 ti = "17/119296/118272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119296/118272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119296 ÷ 217
    119296 ÷ 131072     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118272 ÷ 217
    118272 ÷ 131072     		y = 0.90234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90234375 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52800033836328))-π/2
    2×atan(0.0798184707431313)-π/2
    2×0.07964960825357-π/2
    0.15929921650714-1.57079632675     		φ = -1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119296 KachelY 118272 2.57708772 -1.41149711 147.656250 -80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 119297 KachelY 118272 2.57713566 -1.41149711 147.658997 -80.872827
    Unten links KachelX 119296 KachelY + 1 118273 2.57708772 -1.41150471 147.656250 -80.873263
    Unten rechts KachelX + 1 119297 KachelY + 1 118273 2.57713566 -1.41150471 147.658997 -80.873263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41149711--1.41150471) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41149711--1.41150471) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.57713566) × cos(-1.41149711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 48.4485658274043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.57713566) × cos(-1.41150471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158618831472096 × 6371000     		du = 48.4462739802685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41149711)-sin(-1.41150471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.158618831472096)×R²
    abs(2.57713566-2.57708772)×7.50377861349905e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50377861349905e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50377861349905e-06×40589641000000     		ar = 2345.80469293821m²