Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119291 / 117233
↖ ↑ ↗
← S 80.408845°
E147.642517°		 ← 50.89 m → S 80.408845°
E147.645264°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
S 80.409303°
E147.642517°		 ← 50.89 m →
2 590 m²		 S 80.409303°
E147.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910121917724609 y=0.894420623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910121917724609 × 217)
    floor (0.910121917724609 × 131072)
    floor (119291.5)     		tx = 119291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894420623779297 × 217)
    floor (0.894420623779297 × 131072)
    floor (117233.5)     		ty = 117233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119291 / 117233 ti = "17/119291/117233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119291/117233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119291 ÷ 217
    119291 ÷ 131072     		x = 0.910118103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117233 ÷ 217
    117233 ÷ 131072     		y = 0.894416809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910118103027344 × 2 - 1) × π
    0.820236206054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.57684804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894416809082031 × 2 - 1) × π
    -0.788833618164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.47819389965804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57684804} λ = 2.57684804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47819389965804))-π/2
    2×atan(0.0838946109279764)-π/2
    2×0.083698612654749-π/2
    0.167397225309498-1.57079632675     		φ = -1.40339910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57684804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.642517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40339910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.408845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119291 KachelY 117233 2.57684804 -1.40339910 147.642517 -80.408845
    Oben rechts KachelX + 1 119292 KachelY 117233 2.57689598 -1.40339910 147.645264 -80.408845
    Unten links KachelX 119291 KachelY + 1 117234 2.57684804 -1.40340709 147.642517 -80.409303
    Unten rechts KachelX + 1 119292 KachelY + 1 117234 2.57689598 -1.40340709 147.645264 -80.409303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40339910--1.40340709) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40339910--1.40340709) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57684804-2.57689598) × cos(-1.40339910) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166616525284151 × 6371000     		do = 50.8889755315787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57684804-2.57689598) × cos(-1.40340709) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		du = 50.8865692900853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40339910)-sin(-1.40340709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166616525284151-0.16660864696488)×R²
    abs(2.57689598-2.57684804)×7.87831927118177e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.87831927118177e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.87831927118177e-06×40589641000000     		ar = 2590.40592426494m²